Probabilités Combinaisons

[marysol56]

Bonjour,

POuvez vous m'aider pour cet exercice ?

Soit n>= 1,
Calculer le nombre de paires ordonnées (x,y) de sous ensembles {1, ..,n} avec Card (A inter B)=1

Je trouve 4 exposant n possibilités de paires mais je suis perdu pour la suite,

Merci

[lyceen95]

Dans ton énoncé, tu écris avec Card(A inter B) = 1
Mais on ne sait pas du tout ce que sont A et B.

Il doit manquer une partie de l'énoncé.

Et j'essaie de deviner comment tu arrives à 4^n, quelle peut être cette partie manquante de l'énoncé, mais je ne vois pas.

[marysol56]

C'est Card (x inter y)

J'ai calculer moi meme pour trouver 4 exposant n :
L 'ensemble des sous ensemble de {1,...,n} est de cardinal 2 exposant n
On cherche donc le nombre de 2-listes de cet ensemble de sous ensemble qui est 4 exposant n

[marysol56]

Je ne vois pas du tout comment faire pour trouver le cardinal de x inter y = 1 ....

[lyceen95]

Donc , l'énoncé de l'exercice, ce serait :
Soit n>= 1,
Calculer le nombre de paires ordonnées (x,y) de sous ensembles {1, ..,n} avec Card (x inter y)=1

C'est ça ?

Laisse tomber, passe à l'exercice suivant. Cet énoncé ne veut rien dire.

[marysol56]

Oui c'est ca l'énoncé....

[catamat]

Bonjour,
Sans garanties je vois le problème ainsi
On choisit deux sous ensembles A et B de l'ensemble {1,2,..,n}
On souhaite qu'ils aient un et un seul élément en commun
Le résultat étant une paire ordonnée (A,B)

Normalement dans une paire les éléments sont distincts contrairement à un couple, donc pour moi A et B sont distincts.
Choix de l'élément commun à A et B : n possibilités
Ensuite pour les (n-1) éléments restants, soit on le prend dans A soit dans B soit on ne le prend pas du tout, donc 3^(n-1) possibilités.
Attention toutefois A et B pourraient être identique si chacun d'eux ne comporte que l'élément commun (singletons donc)
donc finalement n[3^(n-1)-1] paires ordonnées de ce type.

Ex pour n=3
Si on prend 1 comme élément commun
On 4 paires possibles
{{1},{1,2}}
{{1},{1,3}}
{{1},{1,2,3}}
{{1,2},{1,3}}
Si on les ordonne, on en a 8.
Comme il y a 3 possibilités pour le choix de l'élément commun on a donc 3*8 soit 24 paires ordonnées de ce type.

La formule précédente donne aussi 24 : 3*(3²-1)

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

On choisit l'élément commun : n choix possibles.
Sur les n-1 éléments restants, on met des étiquettes : étiquette 0 s'il n'appartient ni a x ni à y, étiquette 1 s'il appartient à x, étiquette 2 s'il appartient à y.

Je trouve presque comme catamat, mais pas tout à fait.

[catamat]

Ok Gabuzomeu
En fait c'est compter ou ne pas compter la paire {{1],{1}} si je reprends mon exemple avec n=3.
Je sais, j'ai beaucoup hésité à la supprimer mais je suppose que vous connaissez bien mieux que moi la notion de paire ordonnée ...
Je partais en fait de la définition d'un ensemble puisqu'une paire est un ensemble à deux éléments, or dans un ensemble on n'a pas deux éléments identiques...
Donc si vous pouvez, svp, donnez la définition exacte de paire ordonnée .

[GaBuZoMeu]

Pour moi, "paire ordonnée" est une mauvaise traduction de l'anglais, puisqu'en français on utilise le terme "couple".
En théorie des ensembles, c'est .

[catamat]

Ok merci