Probabilité

[luciole53]

Bonjour, j'ai un DM a faire (j'ai le temps rien d'urgent) et ça fait 1h que je tourne en rond sur le premier exercice. Voici l'énoncé:

On lance un dé 20 fois. Soit V la v.a. égale au nombre de cinq obtenus.
Déterminer la loi de V. Quelle est la probabilité d’obtenir moins de 3 fois un cinq ?


C'est un exercice "bateau" mais je ne suis pas sûre de moi déjà pour le cardinal (noté U parce que je ne sais pas faire oméga sur le clavier) je pensais à 6^20 mais ça me parait beaucoup.

Pour la loi de V j'ai commencé par
V(U) = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}

P[N=0] = (5^20)/card U

P[N=1] = (20/6) / card U
j'explique mon raisonnement, 1/6 pour le probabilité d'avoir un 5, fois 20 car on a 20 lancés et divisé par card U car c'estla méthode utilisé dans les autres exercice. Mon problème c'est que le résultat est supérieur à 1 donc je ne pense pas que mon raisonnement soit bon.

Est ce que quelqu'un veut bien m'expliquer d'où vient mon erreur s'il vous plaît?

[flight]

salut

il faut utiliser la loi binomiale de paramètres p=1/6 ( proba d'obtenir un cinq sur un lancé) , n=20

soit P(X=k)=C20,k.p^k.(1-P)^(20-k).

cette formule peut te permettre de calculer la proba d'obtenir un cinq au kième lancé.

[john32]

Le Omega est ce que c'est l'ensemble des evenements possibles ou quelque chose d'autre deja (j'ai un petit trou de memoire) ?

Sinon ta variable n'est rien d'autre qu'une variable aleatoire suivant une loi Binomiale avec une probabilite de succes de 1/6 et un nombre de realisations de 20.

La suite doit ensuite venir toute seule.

[luciole53]

Omega est bien l'ensemble des évènements possibles.

Mais pour moi la question posée n'était pas quelle est la probabilité d'avoir un 5 à tel ou tel lancé mais plutôt quelle est la probabilité d'avoir un seul (ou deux ou trois) 5 sur l'ensemble des lancés.

Je pensais utiliser le loi de X (ou loi hypergéométrique) mais je ne sais pas si elle est vraiment adaptée.

[flight]

pour exemple tu recherches la proba d'obtenir 2 cinq sur les 20 lancés :

il y a pour cela C20,2 combinaisons qui permettent d'obtenir deux 5

calculons la proba d'obtenir un cinq au premier et au second lancé ,

d'apres la loi binomiale on écrirait P=C20,1.p.(1-p)^19.C20,2.P².(1-P)^18

avec p=1/6

mais comme il existe 190 combinaisons dans ce cas pour obtenir 2 cinq

alors on écrira P(V=2)=C20,1.p.(1-p)^19. SOM(C20,k.P^k.(1-P)^(20-k)) pour k compris entre 2 et 20 +C20,2..p².(1-p)^18.SOM(C20,k.P^k.(1-P)^(20-k)) pour k compris entre 3 et n +.......+C20,20.p^20.SOM(C20,k.P^k.(1-P)^(20-k)) pour k compris entre 20 et 20..... tu peux mettre tout ca en forme .

[john32]

La loi hypergeometrique n'est t'elle pas une generalisation de la loi binomiale ?
(je pose cette question car j'ai un petit trou de memoire :doh:

[luciole53]

je tourne toujours en rond :cry:

[fatal_error]

salut,

sois k le nombre de 5 qu'on a eu :
sur 20 lancers, tu as emplacements possibles pour placer tes 5 et donc pour placer les autres chiffres.
Tu passes un coup de proba dessus : 1/6 pour une reussite, 5/6 pour autre chose qu'un 5
Ca te donne donc

Enfin, je ferais comme ca personnellement

[john32]

Non il s'agit bien d'une loi geometrique et donc ton deuxieme element de commbinatoire (20-k parmi 20) est en trop fatal error.
Il serait interessant si l'on cherche a enumerer le nombre de cas favorable par rapport au nombre de cas total.
Mais ici en rajoutant de probabilites ce n'est pas de la meme facon que l'on doit raisonner

[fatal_error]

salut,

tu as raison pour l'élément de combinaison.
Toutefois, j'opterais plutot pour une loi binomiale

On renouvelle n fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p...
On compte alors le nombre de succès obtenus à l'issue des n épreuves et on appelle X la variable aléatoire correspondant à ce nombre de succès.

avec p=1/6 et q=5/6

[john32]

On est d'accord maintenant :zen: