Probabilite

par **balba** » 23 Oct 2008, 21:28

Bonjour,

Petite question de proba:

Si X est une variable aleatoire a valeur discrete dont on connait la distribution (donc on connait P(X=n) pour tout n), et que An est l'evenement "n divisie X", que peut-on dire de P(An) si n est premier?

Est-ce vrai que P(An)=P(X=n*1 ou X=n*2 ou X=n*3 ...)=Somme sur k des P(X=nk)?

Merci.

par **yos** » 23 Oct 2008, 22:13

Oui. C'est encore vrai si n est pas premier.

par **balba** » 23 Oct 2008, 23:51

Merci.

Et a-t-on bien P(intersection de tous les An, n premier)=P(tous les nombres premiers divisent X)=P(X=0)?

par **yos** » 24 Oct 2008, 11:47

Oui c'est juste.

par **balba** » 24 Oct 2008, 21:11

Hum...en fait c'est plutot P(X different 1, X different de 2,...)=Produit sur k des 1-P(X=k).

En fait, je cherche a prouver le produit d'Euler: 1/Zeta(s)=Produit sur p premier des (1-1/p^s), et utilisant l'independence des Ap, p premier, et la distribution P(X=n)=n^(-s)/Zeta(s).

par **yos** » 25 Oct 2008, 09:08

balba a écrit:Et a-t-on bien P(intersection de tous les An, n premier)=P(tous les nombres premiers divisent X)=P(X=0)?

Enlève ton P :

est l'événement (X=0).

Mais je doute que ça te donne l'égalité d'Euler, laquelle résulte d'un simple calcul.

par **balba** » 25 Oct 2008, 14:47

Oui, mais ya un autre moyen d'y arriver en utilisant les probas...cf. Exercice 1 de:
http://pagesperso-orange.fr/karelle.jullian/agregation/Gene_probas.pdf

par **yos** » 25 Oct 2008, 20:24

En effet! Je connaissais pas.
Calcule

de deux façons différentes sachant que les

sont mutuellement indépendants.

par **balba** » 26 Oct 2008, 12:08

Ah merci, c'est tout simple.

Pour la derniere question je suis tente d'ecrire:
P(n est PGCD de X,Y)=P({n divise X} et {n divise Y} et {pour tout p premier, p ne divise pas a la fois X/n et Y/n}) mais le dernier evenement n'est pas forcement independent...

par **yos** » 26 Oct 2008, 16:48

On a

et je vois pas pour P(D=n). Par rapport à P(D|n) il n'y a que

en plus au dénominateur. Ca donne envie d'utiliser la question 2 mais je ne vois pas de lien. J'y réfléchis.

par **yos** » 26 Oct 2008, 17:21

Je le tiens en écrivant :

,

.

C'est lourd mais plus simple que ça en a l'air. La probabilité de

s'obtient par simple soustraction.

par **balba** » 26 Oct 2008, 19:31

Tiens oui decomposer n...
Que veux tu dire par simple soustraction? Je vois peu de simplifications.

par **yos** » 26 Oct 2008, 21:08

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