Probabilité

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Nthnazzzz
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Probabilité

par Nthnazzzz » 18 Jan 2022, 18:25

Bonjour, j'ai un exercice et je n'arrive pas à comprendre pourquoi ma solution ne marche pas.
Soit un jeu de carte de 32 cartes.
Sur une main de 5 cartes, combien y a-t-il de mains avec au moins un roi.(sans ordre, sans remise)
Ma solution qui n'en n'est pas une, ne fait pas intervenir l'événement contraire.

Supposons qu'on est 1 roi et 4 autres cartes: R X X X X
pourquoi le nombre de main n'est pas 31*30*29*28 ?(à chaque fois je retire une carte et regarde tous les cas possibles)
Merci d'avance!



GaBuZoMeu
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Re: Probabilité

par GaBuZoMeu » 18 Jan 2022, 18:46

Bonjour,

Plusieurs erreurs : il y a quatre rois, et aussi il faut prendre garde à ne pas compter plusieurs fois les mains où il y a plusieurs rois.

lyceen95
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Re: Probabilité

par lyceen95 » 18 Jan 2022, 19:47

Je Cite :
Ma solution qui n'en n'est pas une, ne fait pas intervenir l'événement contraire.

Donc tu sais qu'en faisant intervenir l'événement contraire, on a souvent des bons outils pour trouver la réponse.

Calcule le nombre total de mains de 5 cartes.
Calcule le nombre total de mains de 5 cartes sans roi.
Calcule le nombre restant, la différence, c'est à dire le nombre de mains sans roi.
Ces 3 calculs sont faciles, visiblement, tu sais les faire.

Est-ce que ce calcul coïncide avec ta proposition ?
Conclusion.


Autre raisonnement :
Prenons un jeu avec 32 cartes, dont 4 rois.
On veut connaître le nombre de mains de 32 cartes avec au moins 1 roi.
De façon évidente , c'est 1.
Et pourtant, en généralisant ton calcul, on trouve ... ... ... Beaucoup,beaucoup beaucoup de mains, énormément.

Nthnazzzz
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Re: Probabilité

par Nthnazzzz » 19 Jan 2022, 00:39

GaBuZoMeu a écrit:Bonjour,

Plusieurs erreurs : il y a quatre rois, et aussi il faut prendre garde à ne pas compter plusieurs fois les mains où il y a plusieurs rois.


Je ne vois pas en quoi je n'ai pas considéré qu'il y avait 4 rois dans mon raisonnement. De plus, je n'arrive pas à voir à quelle occasion je compte plusieurs fois une main valide.

Nthnazzzz
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Re: Probabilité

par Nthnazzzz » 19 Jan 2022, 00:43

lyceen95 a écrit:Je Cite :
Ma solution qui n'en n'est pas une, ne fait pas intervenir l'événement contraire.

Donc tu sais qu'en faisant intervenir l'événement contraire, on a souvent des bons outils pour trouver la réponse.

Calcule le nombre total de mains de 5 cartes.
Calcule le nombre total de mains de 5 cartes sans roi.
Calcule le nombre restant, la différence, c'est à dire le nombre de mains sans roi.
Ces 3 calculs sont faciles, visiblement, tu sais les faire.

Est-ce que ce calcul coïncide avec ta proposition ?
Conclusion.


Autre raisonnement :
Prenons un jeu avec 32 cartes, dont 4 rois.
On veut connaître le nombre de mains de 32 cartes avec au moins 1 roi.
De façon évidente , c'est 1.
Et pourtant, en généralisant ton calcul, on trouve ... ... ... Beaucoup,beaucoup beaucoup de mains, énormément.


Oui je connaissais déjà la réponse en utilisant l'événement contraire, je voulais juste savoir pourquoi ce raisonnement ci ne marchait pas car c'est le premier qui m'est venu à l'esprit. Dans ton autre raisonnement on considère qu'il n'y a pas d'ordre ? Si il n'y a pas d'ordre je n'arrive pas à comprendre pourquoi il existe plus que une main (si j'ai bien compris l'énoncé).

GaBuZoMeu
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Re: Probabilité

par GaBuZoMeu » 19 Jan 2022, 01:17

Si tu avais correctement fait le travail en suivant la voie beaucoup plus compliquée que de considérer l'événement contraire :
1°) Il faut justement prendre en compte le fait qu'il y a quatre rois. Pour constituer une main avec un des quatre rois (par exemple le roi de coeur) on complète avec quatre autres cartes parmi les 31 qui restent.
2°) Et comme l'ordre ne compte pas il s'agit bien pour compléter d'une combinaison de 4 parmi 31 et pas d'un arrangement.
On en est donc à
3°) Mais on a compté plusieurs fois de cette manière les mains où il y a plusieurs rois. Pour éviter ces doubles ou triples ou quadruples comptes, il faut corriger ce qui vient d'être fait en employant la formule du crible de Poincaré qui donne :


C'est tout de même bien plus simple de passer par l'événement contraire, ce qui donne . Heureusement, le résultat est le mêm.

lyceen95
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Re: Probabilité

par lyceen95 » 19 Jan 2022, 10:22

Lycéen :
On veut connaître le nombre de mains de 32 cartes avec au moins 1 roi.
De façon évidente , c'est 1.


Nthnazzzz :
Si il n'y a pas d'ordre je n'arrive pas à comprendre pourquoi il existe plus que une main (si j'ai bien compris l'énoncé).


Si j'ai un jeu de 32 cartes et que je dois sélectionner 32 cartes pour les donner au joueur, peu importe que je commence par l'as de pique ou par le 7 de trèfle, je lui donne les 32 cartes du jeu. Le jeu complet.
Peu importe si je commence par l'as de pique ou pas, c'est sûr, je vais finir par le lui donner, cet as de pique.
Il y a une seule distribution possible.

Mais peu importe.
Revenons au cas avec 5 cartes.
On ne va pas réussir à te convaincre. C'est toi qui va te convaincre, toi-même.
On a un jeu de 32 cartes.
Question 1 : Combien y-a-t-il de façons de distribuer 5 cartes , sans aucune contrainte.
Question 2 : Combien y-a-t-il de façons de distribuer 5 cartes , sans aucun roi.
Question 3 : Combien y-a-t-il de façons de distribuer 5 cartes , avec exactement 1 roi.
Question 4 : Combien y-a-t-il de façons de distribuer 5 cartes , avec exactement 2 rois.
Question 5 : Combien y-a-t-il de façons de distribuer 5 cartes , avec exactement 3 rois.
Question 6 : Combien y-a-t-il de façons de distribuer 5 cartes , avec exactement 4 rois.

Fais ces 6 calculs, jusqu'au bout (pas une formule comme 32*31*30, mais un nombre comme 123456).
Et ensuite, tu médites.
Normalement, le nombre le plus grand, c'est celui obtenu pour la question 1.
Normalement, ce nombre coïncide avec la somme des 5 autres.

Normalement, le nombre de la question 6 devrait être assez petit. En prenant 5 cartes au hasard, il faut un sacré coup de bol pour avoir les 4 rois ! Il est même très simple, on prend les 4 rois, et on choisit une carte parmi les 28 autres. 28 possibilités.
Même le nombre de la question 5 devrait être petit.

Quand on n'est pas à l'aise avec les questions de dénombrement, on fait ces contrôles de cohérence. Ca donne des bases très solides pour la suite.

tournesol
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Re: Probabilité

par tournesol » 19 Jan 2022, 10:28

GaBuZoMeu , merci pour tes lumière sur la compensation de sa méthode . J'avais essayé de la compenser mais sans avoir réussi .
Pour rappel , la méthode non compensée qui n'utilise pas l'évènement contraire:
On répartit les cartes en deux paquets : les 4 rois , et les 28 autres cartes .
exactement 1 roi : un roi parmi 4 et 4 cartes qui ne sont pas des rois soit possibilités
exactement 2 rois : deux rois parmi 4 et 3 cartes qui ne sont pas des rois soit possibilités
exactement 3 rois : possibilités .
exactement 4 rois : possibilités
81900+19656+1512+28=103096

tournesol
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Re: Probabilité

par tournesol » 19 Jan 2022, 11:57

Pour t'obliger à utiliser la logique des évènements , tu peux faire l'exercice suivant :
Dans le même contexte que celui de ton exo , combien y a t il de mains de 5 cartes contenant au moins un roi ET au moins une dame ?

tournesol
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Re: Probabilité

par tournesol » 19 Jan 2022, 14:44

GaBuZoMeu , je viens de comprendre ta compensation qui traite l'idée de l'étudiant:
p(un roi de coeur OU un roi de carreau OU un roi de pique OU un roi de trèfle )=
Modifié en dernier par tournesol le 19 Jan 2022, 21:32, modifié 1 fois.

lyceen95
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Re: Probabilité

par lyceen95 » 19 Jan 2022, 15:14

GBZM aime beaucoup ce crible de Poincaré, peu connu au demeurant.

Mais en fait, ce crible, il dit quoi. Il nous renvoie aux dessins de patates, aux diagrammes de Venn.

Image

Le comptage de tous les individus, c'est le comptage des individus dans chacun des cercles.
Sauf qu'on a des Double-comptes, comptés 2 fois, donc on retire le nombre d'individus comptés (au moins) 2 fois.
Zut, les individus présents dans 3 cercles ont été comptés 3 fois, puis décomptés 3 fois, il faut donc rajouter le nombre d'individus présents dans (au moins) 3 cercles
etc etc

tournesol
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Re: Probabilité

par tournesol » 19 Jan 2022, 15:41

Merci lycéen95 , ton diagramme me rappelle mes debuts dans l'enseignement . Un rajeunissement , en somme ...

Nthnazzzz
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Re: Probabilité

par Nthnazzzz » 19 Jan 2022, 20:37

[quote="lyceen95"][quote]Lycéen :

On a un jeu de 32 cartes.
Question 1 : Combien y-a-t-il de façons de distribuer 5 cartes , sans aucune contrainte.
Question 2 : Combien y-a-t-il de façons de distribuer 5 cartes , sans aucun roi.
Question 3 : Combien y-a-t-il de façons de distribuer 5 cartes , avec exactement 1 roi.
Question 4 : Combien y-a-t-il de façons de distribuer 5 cartes , avec exactement 2 rois.
Question 5 : Combien y-a-t-il de façons de distribuer 5 cartes , avec exactement 3 rois.
Question 6 : Combien y-a-t-il de façons de distribuer 5 cartes , avec exactement 4 rois.

Question 1: 5 parmi 32 = 201376
Question 2: 5 parmi 28=98280
Question 3: 1 parmi 4 * 4 parmi 28=81900
Question 4: 2 parmi 4 * 3parmi 28=19656
Question 5: 3 parmi 4* 2 parmi 28=1512
Question 6: 28

C'est les mêmes calculs que vous faites vous ou vous faites autrement? Si vous faites autrement j'aimerais bien savoir vos calculs car chez moi cela ne sont pas très instinctifs

Nthnazzzz
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Re: Probabilité

par Nthnazzzz » 19 Jan 2022, 20:53

Nthnazzzz a écrit:Bonjour, j'ai un exercice et je n'arrive pas à comprendre pourquoi ma solution ne marche pas.
Soit un jeu de carte de 32 cartes.
Sur une main de 5 cartes, combien y a-t-il de mains avec au moins un roi.(sans ordre, sans remise)
Ma solution qui n'en n'est pas une, ne fait pas intervenir l'événement contraire.

Supposons qu'on est 1 roi et 4 autres cartes: R X X X X
pourquoi le nombre de main n'est pas 31*30*29*28 ?(à chaque fois je retire une carte et regarde tous les cas possibles)
Merci d'avance!



Le nombre que j'ai calculé ici correspond plutôt au nombre de main commençant par un roi en tenant compte de l'odre n'est-ce pas ?

lyceen95
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Re: Probabilité

par lyceen95 » 19 Jan 2022, 21:26

Dans mon message, je disais ensuite :
Normalement, le nombre le plus grand, c'est celui obtenu pour la question 1.
Oui, c'est bien le 1er le plus grand. Cool.
Normalement, ce nombre coïncide avec la somme des 5 autres.
Oui, le 1er nombre est bien la somme des 5 autres, j'ai fait l'addition pour vérifier.
C'est vachement encourageant.

A ce niveau là, ça ne peut pas être une coïncidence.

Des calculs de dénombrement compliqués, il m'arrive d'en faire. Des très très compliqués. Et du coup, même si j'ai besoin uniquement du nombre de combinaisons 'gagnantes', je calcule aussi le nombre de combinaisons perdantes. Et le nombre Total de combinaisons. Et des fois, ça ne coïncide pas. Donc je recommence mes calculs, forcément.
Et quand ça coïncide, quelle satisfaction !


Supposons qu'on est 1 roi et 4 autres cartes: R X X X X
pourquoi le nombre de main n'est pas 31*30*29*28 ?
Le nombre que j'ai calculé ici correspond plutôt au nombre de main commençant par un roi en tenant compte de l'ordre n'est-ce pas ?

Admettons.
Et dans ce cas, quel calcul tu ferais pour avoir le nombre de mains commençant par le roi de coeur, en tenant compte de l'ordre ?

Nthnazzzz
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Re: Probabilité

par Nthnazzzz » 31 Jan 2022, 22:37

Ca serait encore 31*30*29*28 non ? (tenant compte de l'ordre et sans remise)

 

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