Probabilité

[Koril]

Bonjour,

je bloque sur les 2 exercices de proba ci-dessous:



Pour le 2nd, on a les lois X et Y qui suivent respectivement les lois binomiales de B(n , 1/6) et B(n , 1/3).
Étant donné que X et Y sont indépendant, on a P(Z ≤ n) = P(X≤n)P(Y≤n) = Fx(n)*Fy(n)
les fonctions de répartitions des lois binomiales me bloque.

Pour le 1er, P(X+Y ≤ t ) = ∫f(x)f(t-x)dx car X et Y sont supposées indépendantes.

Merci d'avance.

[aviateur]

Bonjour
Pour le 1. Je ne comprends rien à ce que tu dis. On dirait que tu écris à l'aveugle . C'est quoi f?
D'abord on ne précise pas le paramètre de la loi exponentielle. Pour faire simple on va prendre

Pour tu peux commencer par écrire

Et là c'est facile à finir.

De même pour le 2., ta réponse n'a pas de sens, tu dis que X suit la loi B(n,1/6). Mais c'est quoi n?

Je pense que quand on fait de la proba, pour établir la loi d'une v.a, la première chose à faire avant tout (mais avant tout) c'est de déterminer les valeurs prises par X (i.e déterminer l'image )
Ici c'est quoi ?

Remarque dans l'indication de l'exo 1., je l'ai fait pour X+Y de manière non explicite mais on voit bien que c'est considéré.

[GaBuZoMeu]

Pour le second, X et Y ne suivent pas des lois binomiales ! X ne compte pas le nombre de fois où on obtient 1, X compte le nombre d'essais pour obtenir 1.

[Koril]

n c'était le nombre de lancées et f fonction de densité.

J'ai repris l'exercice 2, comme X est égale au nombre d'essais indépendants nécessaire pour avoir l’événement A = "On obtient le numéro 1", cela veut dire que X suit une loi géométrique avec comme paramètre p = P(A) =

donc si on obtient 6 au n-ième essais on a


Pour Y, je fais pareil mais avec l’événement B = "On obtient le numéro 5 ou 6"



vu que X et Y sont indépendant, on a


d'où




Donc la loi de Z est donnée par:



Pour W = min(X,Y) je fais pareil mais en passant par:

[aviateur]

Bonsoir

n c'était le nombre de lancées et f fonction de densité.

Bon la loi ne peut pas dépendre d'un nombre n comme ça.

Néanmoins tu as corrigé nettement ta réponse. Sans le dire tu as

Maintenant ç'est assez correct mais il y a une erreur quelque part car

[Koril]

J'ai fait une erreur au niveau de
le bon calcul est


d'où




et la loi de Z est donnée par:



la somme vaut bien 1 https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+(1-(5%2F6)%5En)(1-(2%2F3)%5En)-(1-(5%2F6)%5E%7Bn-1%7D)(1-(2%2F3)%5E%7Bn-1%7D),+n%3D1+to+infinity