Probabilité de répétition consécutive d'un évenement

[rincewind]

Bonjour,

Je suis un peu coincé sur le problème suivant :

soit une urne avec N boules dont Na blanches et Nb=N-Na noires.

on effectue n tirages avec remise.

La question n'est pas de savoir qu'elle est la probabilité de tirer k boules blanches sur n tirages ;)

Le but du jeu est d'essayer de déterminer quel est la probabilité d'avoir k fois l'événement "on tire 2 boules blanches consécutives" sur les n tirages.

Attention il s'agit d'avoir 2 boules blanches consécutives mais avec des paires disjointes, c'est à dire que la série "blanche blanche blanche noire" ne va compter que pour une seule occurrence de l'événement (chaque boule ne peut compter que dans une paire).

[fatal_error]

salut

le problème a déjà dû être traité, mais bon, jme lance :

J'ai posé que la main, c'était n boules tirées (dans l'ordre).
Ensuite, j'ai utilisé un tableau :


b_1,...,b_n, correspondent aux n boules que j'ai tirées.
Sur les colonnes, pour une ligne, une croix placée dessus signifie qu'on a tiré une paire de boules gagnantes (:-D).
Donc par exemple si je pose une croix sur la colonne qui sépare b_1 et b_2, ca veut dire que b_1 et b_2 sont toutes les deux blanches.
Ca implique qu'on peut pas avoir deux croix cote a cote, sinon, on a b_1,b_2,b_3 blanches, mais ca n'apporte rien.

Ensuite, pour compter le nombre de paires de boules (:-D), c'est la que ça foire...
pour deux paires :
On place la premiere paire de boule ou on veut, puis apres on compte le nombre de possibilités pour la seconde.
//pour un k donné (la position de la premiere boule), on a n-(k+1) possibilités pour placer la seconde.

Pour trois paires:


Pour p paires :


Apres, pour calculer ca... :marteau:, doit surement yavoir un moyen plus astucieux...

[fatal_error]

Avec une autre approche du style division pour régner, j'obtiens


Avec n+1 le nombres de boules, k le nombres de paires, et S le nombre de solutions.
Apres, pour resoudre cte suite qui ressemble un peu a une suite récurrente, je sais pas faire...

[Nicolas_75]

Bonjour,

Je suis bien conscient que c'est un ancien sujet.
Néanmoins, au cas où quelqu'un tombe dessus après une recherche Google (comme je viens de le faire), ce lien pourrait donner des idées : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,826592,826629

Nicolas

[alavacommejetepousse]

Avec une autre approche du style division pour régner, j'obtiens


Avec n+1 le nombres de boules, k le nombres de paires, et S le nombre de solutions.
Apres, pour resoudre cte suite qui ressemble un peu a une suite récurrente, je sais pas faire...

Bonjour
ds la même idée sans tableau sans croix ni colonne mais la formule des probas totales avec le SCE
B1N2 , N1, B1B2 , on obtient aec a = NA/N proportion de blanches et b = NB/N proportion d enoires (jolies notations!!)

u(n,k) = abu(n-2,k)+bu(n-1,k)+bbu(n-2,k-1) où
u(n,k) est la proba de faire exactement k paires de blanches sur n tirages

suite récurrente qui se programme bien mais sans formule explicite a priori

[Ben314]

u(n,k) = abu(n-2,k)+bu(n-1,k)+bbu(n-2,k-1) où
u(n,k) est la proba de faire exactement k paires de blanches sur n tirages

suite récurrente qui se programme bien mais sans formule explicite a priori

Oui... et non...
Si on note le polynôme "générateur", c'est à dire alors la formule de récurence dit que qui est une formule de récurence linéaire d'ordre 2.
Le polynôme (en ) associé à cette formule est de racines où et on en déduit aprés un petit calcul que
Si on dévelope les puissances n-ièmes, les racines se simplifient évidement vu que est un polynôme et on obtinent des formules pas trop méchantes de calcul de .

On peut aussi en déduire directement la moyenne du nombre de paires tirées qui est .
On pourrait de même valculer la variance qui est