Probabilité de placement

[Nightmare]

Salut à vous !

Aujourd'hui, c'est le jour de l'épreuve de maths au bac au lycée Berthelot. n élèves se présentent à l'examen. Dans la salle d'examen, les places sont numérotés de 1 à n (peu importe la disposition). Ouverture des portes, chaque élève rentre chacun son tour par ordre de numéro.
Le premier (qui a donc la place n°1), perturbateur dans l'âme décide de s'assoir au hasard dans la salle.
Tous les autres, plus sérieux, vont s'asseoir un par un à leur siège, sauf si ce dernier est occupé, auquel cas ils en choisissent un au hasard.

Une fois le dernier élève rentré (le numéro n) le surveillant un peu trop feignant pour vérifier si tout le monde s'est bien assis, va se contenter de vérifier que le dernier est bien à sa place.

Question : Quelle est la probabilité que le dernier soit effectivement à sa place?

[Ben314]

Moi, moi, moi M'sieu, j'sais pour n=2.... :zen:

[lapras]

Salut, il me semble qu'on a déja eu ce sujet dans "énigme" avec une autre histoire.

[Nightmare]

Salut Lapras !

En tout cas je ne l'ai jamais vu, par contre il y en a une similaire avec la notion de dérangement. Mais ce n'est pas exactement la même chose.

[Ben314]

p=1/2 (pour tout n)

Edit : sauf évidement pour n=1.
Par contre, combien, en moyenne, ne seront pas à leur place ???

[Nightmare]

p=1/2 (pour tout n)

C'est ce que j'ai aussi !

[Ben314]

Perso, j'utilise pas vraiment de dérangements, j'ai p1=1, p2=1/2
puis, pour n>=3, pn=1/n(0+1+p2+...+p(n-1))

[Ben314]

Sauf erreur (là, c'est un peu plus complexe), pour le nombre moyen d'élèves mal placés, je trouve (avec n élèves) :
1+1/2+1/3+...+1/(n-1)

[Finrod]

oups, je voulais faire une remarque mais j'avais mal lu l'énnoncé.

Je suis bloqué pour la moyenne,

Je note la va qui représente le nombre d'élèves mal placés et Y la place du premier élève.

J'obtiens que

si je note la suite des espérances, j'obtiens

[Ben314]

Je suis aussi passé par une "formule pourrie" comme la tienne (mais pas texto la même) puis en calculant les 4 premiers termes, j'ai conjecturé que ca donnait 1+1/2+1/3+...+1/(n-1) et j'ai vérifié par récurrence.

Ma "formule pourrie" qui donne un résultat (assez) simple suggére fortement qu'il y a une méthode plus simple.

P.S. je suis comme toit passé par des proba conditionelles.
Si tu trouve pas comme moi, essaye n=2,3,4, c'est traitable "a la main" et mon résultat semble juste...

P.S.2 : regarde si ta formule ne donne pas la même chose que la mienne...

[Finrod]

Le premier coup j'ai conditionné par Y=k, là je viens de simplifier en conditionnant par Y=2 et Y différent de 2. Mais c'est toujours complexe, je vais voir.

C'est bon ça va donner directement la bonne formule, dés que j'aurai corriger une erreur de calcul.

[Ben314]

La formule que j'avais pour l'espérance est :
et, pour ,

[Finrod]

J'ai trouvé mon erreur stupide, voici ma solution "sans récurrence" :

Je prend les même notations.





Donc



et

et la somme se calcule en

Donc finalement

[Ben314]

C'est effectivement beaucoup plus joli...
bravo.

[Ben314]

Tient, en fait, je suis un peu con...
La formule que j'avais dans le post #12, elle se "dérécursifie" aussi assez simplement !!!