Probabilité-Partitions

[NWA11]

Bonjour, pouvez vous m'aider un peu pour ces deux démonstrations ?

Exercice 1
Montrez qu’une variable aléatoire X : ;) ;) R est mesurable par rapport à une partition P = {Ai , i ;) I} si et seulement si la partition P est plus fine que la partition PX engendrée par X.

Exercice 2 Important (savoir)
Soient deux variables aléatoires X : ;) ;) R et Y : ;) ;) R. Alors Y est mesurable par rapport à la partition PX engendrée par X sietseulementsiilexistef :R;)RavecY =f(X).

[mrif]

As-tu une définition de " La variable aléatoire X est mesurable par rapport à la partition P " ?

[NWA11]

As-tu une définition de " La variable aléatoire X est mesurable par rapport à la partition P " ?

Oui

Soit X : R variable aléatoire, et P une partition de . On dit que X est mesurable par rapport à la partition
P ={Ai,i I}si X estconstant surAi pour tout i I.

[mrif]

Oui

Soit X : R variable aléatoire, et P une partition de . On dit que X est mesurable par rapport à la partition
P ={Ai,i I}si X estconstant surAi pour tout i I.

Dans ce cas c'est presque immédiat.

Exercice 1.
Soit P = {Ai , i I} une partition.
On commence par montrer que si X est mesurable par rapport à alors la partition est plus fine que la partition:

Soit un élément de . Tous les éléments de ont la même image par . Or, par définition de la partition , est un élément de , donc . Cela prouve bien que tout élément de la partition est inclus dans un élément de la partition .

La rédaction est un peu longue mais la preuve est simple. Essaie de montrer la réciproque.