Probabilité / factorielle

[lenain77230]

Bonjour !
Petit exercice sur les factorielles qui doit être tout con quand on connait, mais même en relisant le cours j'ai du mal avec les problèmes la dessus ! Je vous copie l'exercice en dessous, merci pour votre aide ^^ (niveau BTS)

Dans un jeu de 32 cartes, on prélève au hasard simultanément quatre cartes. On obtient alors une main. On admet que toutes les mains possibles sont équiprobables. Calculer la probabilité d'obtenir dans une main respectivement :
[Il y a 4 couleurs : coeur, carreau, trèfle, pique]
a / 4 cartes de même couleur; [8! - 4! ??]
b/ 1 carte de chaque couleur;
c/ exactement un as;
d/ exactement 2 as;
c/ aucun as;
f/ au moins un as;
g/ 2 coeurs et 2 piques;
h/ 2 coeurs, un pique et un trèfle;
i/ 2 coeurs et un as exactement;
j/ un carré, soit quatre cartes de meme valeur.

Merci d'avance !

[pascal16]

petit rappel .
8! = 8*7*6*5*4*3*2*1
4!=4*3*2*1

donc 8!/4! = 8*7*6*5

Il faut en premier savoir combien de mains différentes on a :
de prime abord on dit 32*31*30*29, mais 4 cartes dans un ordre ou dans un autre, c'est la même main
on a finalement 32*31*30*29/(4*3*2*1) mains différentes soit 32!/(28!*4!)
si tu a vu les coefficient binomiaux, c'est C(32;4)

Il faudra diviser chaque dénombrement par ce nombre pour avoir des probabilités.

[vejitoblue]

sympa comme exo, ça me fait penser à la variante pot limit omaha au poker (enfin à 32 cartes c'est pas trop ça non plus)

déjà en tout t'as 32!/4!28! combinaisons possibles (soit 35960 mains de 4 cartes possibles dans un deck de 32 cartes)

à titre d'exemple pour la a/ (je te laisse faire le reste):
4 cartes de la même couleur:
-possibilité par couleur: on a 8 choix pour la première carte, 7 choix pour la deuxième etc, ça nous fait 8*7*6*5=1680 possibilités mais WARNING! ça tient compte de l'ordre (c'est ce qu'on appelle des arrangements). Après ce qu'on fait c'est de voir combien il y a de permutations possibles de 4 cartes, il y a 4! façons différentes de les ordonner. il suffit juste ensuite de diviser le nombre d'arrangement par le nombre de permutations (çad le nombre de combinaisons de 4 cartes parmi 8 ça doit nous faire 280)
t'as plus qu'à multiplier le nombre de combinaisons par 4 (ie par possibilté de couleurs), au total t'as 1120 tirages possibles de 4 cartes parmi 32 tel que ces 4 cartes soient de la même couleur.

je sais pas si c'est super clair, mais si tu veux les bases tapes arrangements et combinaisons sur ton navigateur (si t'es un rate-pi).

Ah oui j'oubliais le plus important lol : "calculer la proba de truc".
au total t'as 35960 combinaisons, et t'as 1120 combinaisons pour tirer 4 cartes de la même couleur, et la probabilité pour que cet evenement arrive est de 1120/35960

grillé par pascal

[lenain77230]

Du coup sur une fraction, en haut je mets le nombre de cartes possible de l'énoncé ex pour le 1/ je mets 4! en haut et en bas je laisse toujours 32! ?

EDIT : message écrit avant celui du dessus ^^ du coup je vais me renseigner sur ce que tu as dit meme si j'ai pas tout assimilé xD

[beagle]

juste qu'il y a un facteur 4 en trop
le C(4,8) doit ètre à 70
faut le placer quelques années pour arriver à 280!*

*dans le message de vetijoblue

[lenain77230]

beagle trompé de page ? je vois pas du tout de rapport entre ce que tu as dit et mon énoncé a part le 4! ^^

[lenain77230]

vejitoblue je pense pas qu'il est de question sur l'ordre par contre, il parle de la main finale pas de l'ordre de tirage non ? Parce que me semble pas avoir vu ca en cours avec un ordre A(p,n). Je n'ai vu que C(p,n) pour l'instant ^^

[beagle]

tu as un cours sur les factorielles ou bien tu as un cours sur combinaisons arrangements?

factoriel c'est juste les permutations, par exemple de a,b,c
a,b,c
,a,c,b
b,a,c
b,c,a
c,a,b
c,b, a
les permutations pour 3 éléments c'est 1x2x3 = 6 cas possibles

mais pour les combinaisons de k éléments pris dans n éléments tes factorielles tu les retrouve comme là:
C(k,n) = n! / [k! x (n-k)!]

[beagle]

ok on s'est croisé tu as vu les C(k,n)
alors c'est bon
tu fais comme dit par Pascal.
toi avec juste 4! / 32! c'est léger, tu devrais avoir du C(.,.) qq chose / C(4,32)

[lenain77230]

J'essaie de toute faire et je poste mes réponses, merci !

[lenain77230]

La premiere du coup c'est 8! / C(32,4) ?
b/ je comprends deja plus xD

[vejitoblue]

juste qu'il y a un facteur 4 en trop
le C(4,8) doit ètre à 70
faut le placer quelques années pour arriver à 280!*

*dans le message de vetijoblue

ouais petite connerie cimer j'étais déjà dans le futur du coup j'ai calculé mes couleurs 2 fois

[vejitoblue]

re lenain

désolé de t'avoir embrouillé plus qu'autre chose.
pour faire plus simple:
imaginons on veut une main à 4 trèfles. 8 c'est le nombre de trèfles dans le deck. on prend donc 4 trèfles parmi les 8 du deck, et on a C(8,4) possibilités pour le faire.
Ensuite comme on a 4 couleurs on multiplie C(8,4) par 4

(comme on peut pas avoir simultanément 4 trèfles et 4 coeurs en même temps, les évenements "tirer 4 trèfles", "tirer 4 piques" tirer 4 coeurs" et "tirer 4 carreaux" sont indépendants et la proba de l'union des évènements vaut la somme des probas des évènements)

Donc la proba d'avoir une main avec exactement 4 cartes de la même couleur est:
4C(8,4)/C(32,4)

[lenain77230]

Du coup ca donne :

a/ 4C(8,4) / C(32,4)
b/ 4C(8,1) / C(32,4)
c/ C(4,1) / C(32,4)
d/ C(4,2) / C(32,4)
???

[vejitoblue]

nan, t'y es pas encore

faut que tu comprennes ce que tu fais et que tu le modélises, une fois que c'est fait tu appliques la théorie.

pour a/ on cherche la probabilité d'avoir 4 cartes de la même couleur.
ça revient à dire qu'on cherche la proba d' avoir dans notre main: (4 trèfles) OU (4 piques) OU (4 coeurs) OU (4 carreaux)
si on note (en notation anglaise spade heart club diamond):
C l'evenement "avoir 4 trèfles", S "avoir 4 pique", D avoir 4 carreaux et H avoir 4 coeurs. on cherche donc la probabilité P(C U S U H U D) et on se sert de la théorie (entre parenthèse dans mon message précédent)
P(CUSUHUD)=P(C)+P(D)+P(H)+P(S)
pour b/ c'est complétement différent, on cherche à avoir 4 couleurs différentes dans notre main:
si on note C l'evenement avoir exactement 1 trèfles dans la main, D avoir un carreau, S avoir 1 pique et H avoir un coeur, on modélise "avoir 4 couleurs différentes" par:
avoir exactement un coeur un carreau un trèfle et un pique dans notre main, autrement dit S ET D ET C ET H
ce qui est foncièrement different de a/
P(S ET D ET C ET H)=P(S)P(D)P(H)P(C)

grosso modo on transforme l'union en somme et l'intersection en produit. à toi d'assurer

[beagle]

pour prendre un petit exemple de ce que te montre vejitoblue sur pourquoi multiplier

tu tires deux cartes, tu veux avoir 1 cœur et 1 carreau
ben pour chaque carte cœur je peux l'associer aux 8 carreaux
j'ai 8 cœurs fois les 8 carreaux = 8x8 combinaisons possibles donnant un cœur un carreau

alors dans certaines questions tu vas multiplier ce que tu veux, ou multiplier ce que tu ne veux pas
exemple 1 as exactement
choisir 1 as dans les 4 C(1,4) que tu multiplieras avec choisir 3 cartes restantes qui ne sont pas des as C(3, 36-4)

[lenain77230]

Daccord je pense avoir compris ! Je fais tout ca demain au matin et je vous poste les réponses pour voir ^^

Merci !

[lenain77230]

Bon bah même avec vos explications je n'arrive à rien malheureusement, j'ai juste su faire la a et la b.

a : 7/899
b: 512/4495

Il y a quelque chose qui doit me manquer mais je n'ai pas le déclique ......

[Pseuda]

Je ne crois pas avoir vu passer la formule magique pour calculer ces probabilités où toutes les mains sont équiprobables :

Probabilité = nombre de mains "favorables" / nombre de cas total.

Exemple pour la c :

nombre de mains comportant un as exactement = 4 (il y a 4 as) * (3 cartes parmi les 28 non-as) / 4 cartes parmi 32.

[vejitoblue]

salut.
je sais pas quel BTS tu fais ni ce que t'apprends en cours.
je te donne les notions de bases de chez bases que tu peux aller checker sur le web pour progresser:

-un peu de théories des ensembles:
Union, Intersection, Loi de De Morgan, partie d'un ensemble, son complémentaire, partition, cardinal (j'en oublie)

-probabilités
univers, évenements, experiences aléatoires, bien sûr la définition d'une probabilité et ses conséquences, et ce qui nous intéresse pour résoudre l'exo: combinaisons, loi uniforme, formule de pointcaré , évènements incompatibles.

tout ce que je peux te dire c'est que ça demande quand même pas mal d'effort, c'est bien plus que diviser deux nombres au pif et basta.

essayes de travailler sur des univers petit, par exemple le lancer de dés ou de pièces, qui suivent la même loi uniforme que les cartes (si rien n'est truqué of course) mais avec beaucoup moins de possibilités et facile à dénombrer.

j'ai pas encore trouver de pdf sur le net et qui va "droit au but",
http://www.unilim.fr/pages_perso/pierre.dusart/Probas/Cours_Proba_2013.pdf chapitre 1 et 2.
http://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=mathsup/feuillesexo/espaceproba&type=fexo là y a des exos corrigés, je travaille pas mal grace à bibmaths
http://math.unice.fr/~delarue/Teaching/CoursL2.pdf celui là j'avais bien kiffé
++