Probabilité, dénombrement...

[Nthnazzzz]

J'ai 3 petites questions d'un sujet d'examen d'année précédente pour l'admission à une école, elles paraissent simples je voulais m'assurer du résultats.

1)Le système informatique d’une entreprise est l’objet d’une attaque de deux groupes distincts de
pirates (appelés A et B). On estime que ce système (vu ses protections ainsi que le type d’attaque
utilisée par chacun des 2 groupes) a :
— 30 % de chance d’être impacté par l’attaque A,
— 25 % de chance d’être impacté par l’attaque B,
— une probabilité de 0.15 d’être impacté à la fois par les deux attaques.
Quelle est la probabilité que le système ne soit pas impacté ?

Ici faut-il juste additionner les probabilités pour calculer la probabilité d'être impacté puis utiliser l'événement contraire ?

2)Lucie peint les faces d’une collection de cubes en bois en blanc ou en noir et pour chaque cube elle
utilise les deux couleurs. Combien de cubes différents peut-elle obtenir (tels que les couleurs soient
réparties de manière différente) ?

(2^6) -2 si on considère pas les cubes tous blancs et tous noirs .

3)Dans une fête, le nombre de personnes qui dansent représente 25% de celles qui ne dansent pas.
Quel est le pourcentage de personnes de la fête qui ne dansent pas ?

Ici il fallait justifier, j'ai posé un système pour résoudre cette question.
Soit x la proportion de personnes qui dansent, y celles qui dansent pas.
On a:
x+y=1
x=(0,25)y

y(1+0,25)=1
x=(0,25)y

y=4/5
x=1/5

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Peux-tu expliciter ta réponse à la question 1 ?

Pour la question 2, est-ce qu'on tient compte du fait qu'on peut faire tourner le cube ? Autrement dit, par exemple, tous les cubes qui ont deux faces opposées noires et les quatre autres blanches sont-ils identiques ?

[Nthnazzzz]

Pour la 1, 1-(0,3+0,25+0,15), ce résultat me parait trop évident je pense avoir oublier une subtilité notamment avec A inter B

Pour la question 2, j'ai considéré que les faces étaient toutes distinctes car je n'avais aucune idée comment faire si je considérais les coloriages symétriques comme une seule possibilité( si ce n'est de les compter à la main). J'aimerais tout de même connaitre la réponse dans les deux cas.

[GaBuZoMeu]

Ta réponse à la question 1) ne va pas. Remarque que quand on fait la somme des impactés par A et des impactés par B, on compte deux fois les impactés à la fois par A et par B.

Pour la question 2, quand on identifie deux coloriages qui ne diffèrent que par une rotation du cube :

- Combien de coloriages avec une face blanche ? Avec une face noire ?
- Combien avec deux faces blanches ? Avec deux faces noires ?
- Combien avec trois faces blanches et trois noires ?

[Nthnazzzz]

Pour la question 1, je devrais faire alors 1-(P(A)+P(B)-P(A inter B))
Pour la question 2, je pense pas avoir compris " qui ne diffèrent que par une rotation du cube"

[GaBuZoMeu]

Tous les cubes avec une seul face blanche sont les mêmes : prends-les en main et tourne-les, comment veux-tu distinguer l'un de l'autre ?

[Nthnazzzz]

D'accord alors a une face blanche il y en a 1, pour deux faces blanches il y en a 2, pour trois faces blanches 2 aussi si je me trompes pas, pour quatre faces j'en ai compté 2, pour cinq 1,pour six 1.
Ce qui fait 9 coloriages possibles avec face blanches donc fois 2 pour compter les noirs aussi donc 18 en tout ?
Pour la question 1 de ma réponse d'avant est telle correcte ?

[GaBuZoMeu]

Ce qui fait 9 coloriages possibles avec face blanches

si tu comptes aussi les cubes unicolores, alors il faut compter le cube tout noir (0 face blanche).

donc fois 2 pour compter les noirs aussi donc 18 en tout ?

??????????? Si tu as par exemple deux faces blanches, les quatre autres sont noires. Pourquoi veux-tu multiplier par 2 ???????

Pour la question 1 de ma réponse d'avant est telle correcte ?

Oui, maintenant ça va.

[Nthnazzzz]

Donc 10 en tout ? Oui pour le fois deux rien à voir, je ne me suis pas rendu compte que quand je comptais par exemple 1 face blanche je comptais aussi le cube avec 5 faces noires, 2 face blanches 4 faces noires. Mais n'y avait-il pas un moyen plus judicieux que ça pour les compter car je pense que le but ici n'étais pas de les compter à la main.
Et pour la question 1, si j'ai bien compris je dois soustraire par A inter B car je le comptais deux fois dans mon erreur précédente ?

[GaBuZoMeu]

Pour les cubes, on peut compter le nombre de modèles bicolores différents (8) par des méthodes plus sophistiquées, je pense précisément à la formule de Burnside
https://fr.wikipedia.org/wiki/Action_de_groupe_(math%C3%A9matiques)#Formule_des_classes,_formule_de_Burnside
Mais ça ne correspond pas au niveau apparent des questions. Ça serait plus indiqué si on demandait par exemple le nombre de modèles de dodécaèdres réguliers avec 5 faces rouges, 4 faces bleues et 3 faces vertes.

Oui, la probabilité de , c'est la probabilité de plus la probabilité de moins la probabilité de .