Probabilité - Calcul de covariance

[Okéoké]

Bonjour,

Soit r sacs et n boules. On met aléatoirement les boules dans les sacs. Toutes les dispositions sont possibles (chaque sac peut avoir de 0 à n boules). Pour i dans [0,r] , on note le nombre de boules dans le sac i.
Soit i,j distincts.
- et sont-ils dépendants?
- Déterminer la loi de
- Calculer la covariance et le coefficient de corrélation de et

Pour tout i, j'ai trouvé que suit la loi binomiale B(n,1/r).
Comme la somme des doit faire n (il y a en tout n boules), j'ai dit que et ne sont pas indépendants. Puis pour la loi de , j'ai dit que c'était une loi binomiale B(n,2/r) (Pour chaque boule, on décide au hasard dans quel sac on le met, et on a deux chances sur r de tomber sur le sac ou ).
Pour la covariance, j'ai utilisé la formule Cov(Xi,Xj)=E(XiXj)-E(Xi)E(Xj) mais je suis bloqué pour le calcul de E(XiXj): Xi et Xj n'étant pas indépendants, j'aboutis à une somme monstrueuse. Comment contourner ce problème, en se servant peut-etre de la question précédente ? Avez-vous des idées ? Il faut commenter le signe de la covariance après. Merci d'avance !

[Ben314]

Salut,
Déjà, avant de commencer et comme très souvent en proba, l'énoncé n'est pas trés clair concernant la façon dont on met les boules dans les sacs :
- Cas 1 : (qui me semble le plus probable) : on les prend une par une et on tire au hasard avec équiprobabilité dans quel sac on la mat.
- Cas 2 : On a un énorme roulette qui tire au hasard une des disposition possible de n boules dans r sacs (avec équiprobabilité des dispositions)

Je pense qu'on va dire qu'on part sur la première hypothèse.
Dans ce cas, effectivement, la loi de n'importe quel X_i est une binomiale de paramètre n et 1/r.
Concernant l'indépendance, de dire que la somme doit forcément faire n est parfaitement correct, mais je me demande s'il ne faudrait pas détailler un peu plus (à voir...)
O.K. aussi pour la loi de X_i+X_j (avec i différent de j)

Concernant E(X_iX_j), à mon avis, la grosse astuce, c'est que, vu que X_i+X_j est une binomiale, tu connait son espérance et sa variance donc tu connait E((X_i+X_j)^2).
Or si tu développe le carré et que tu utilise la linéarité de l'espérance ça donne...

P.S. D'ailleurs, si tu l'a vu, tu peut directement utiliser la formule V(X+Y)=... vu qu'au fond, c'est ça que je suis en train de te proposer de (re)démontrer...