Probabilité binomiale et loi de Poisson

[alban11]

Bonjour, je suis très incertain de mes résultats de l'exercice 2 du Sujet BTS AEA Année 2006
Merci de répondre

Question 3. On suppose désormais que la probabilité qu'un panneau ne soit pas acceptable est p=0.05. Un grossiste achète à l'entreprise PANCOL les panneaux de MDF d'épaisseur 40mm par lots de 200 panneaux. La constitution d'un lot est assimilée à un tirage de 200 panneaux avec remise. Soit Y la variable aléatoire qui, à chaque lot de 200 panneaux, associe le nombre de panneaux qui ne sont pas acceptables dans ce lot. Quelle est la loi de probabilité de Y ? Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de Y.

Réponse: Les panneaux MDF sont contrôlés, il y a deux possibilités:
- Succès si épaisseur du panneau non acceptable (inférieur à 39.8 ou supérieur à 40.2), avec une probabilité de p=0,05
- Echec si épaisseur du panneau entre [39.8;40.2], avec une probabilité de q=1-0.05=0.95
La constitution d'un lot est assimilée à un tirage de 200 panneaux avec remise.
Soit Y le nombre de succès qui, à chaque lot de 200 panneaux, associe le nombre de panneaux qui ne sont pas acceptables dans ce lot. Donc p[X=k]= Cn^k . p^k . q^(n-k)

Espérance= n x p
=200.0,95
=190

Ecart-type=Racine(n x p x q)
=Racine(200 x 0,95 x 0,05)
= 3,08

Question 4) On décide d'approcher la loi de probabilité de Y par une loi de Poisson

a) Quel est son paramètre ?
b) Quelle est la probabilité que, dans un lot de 200 panneaux, tous les panneaux soient acceptables ?
c) Quelle est la probabilité que, dans un lot de 200 panneaux, il y ait plus de 5 panneaux non acceptables ?

Réponse a) Lambda= n x p
= 200 x 0,05
= 10

b) p[X=k] = e^(-10) x (10^k)/(k!)
p[X=0] = e^(-10) x (10^0)/(0!) = 4,54 x 10^-5

c) p[X=k] = e^(-10) x (10^k)/(k!)
p[X=5] = e^(-10) x (10^5)/(5!) = 4,54 x 10^-5 = 0,038


Merci de vos réponses