Proba/stats Monte Carlo M2 PRO stats

[Epson]

Bonjour,

Je fais un script sous R dans lequel j'aimerais calculer des intégrales, sans connaitre la solution analytique.
On se place dans le cadre ou on cherche simplement à intégrer la loi normale centrée réduite, sur l'intervalle .
Premier problème :
Elargissons au cadre pour ce paragraphe, cela m'a donc amené à utiliser la fonction "integrate" de R, mais elle pose des problèmes car produit des erreurs aberrantes, en intégrant plus loin, (en se rapprochant de la queue à droite), on obtient des valeurs parfois plus faibles. i.e. n'implique pas estimation par le logiciel de estimation par le logiciel de ce qui est quand même génant pour une fonction K positive.
Second problème :
J'ai donc envie de tester ce que je viens de découvrir, Monte-Carlo pour calculer une intégrale. J'ai essayé en simulant un échantillon de taille n uniforme sur [un nombre petit, 0]. En faisant varier n et le nombre petit, je n'arrive cependant pas à me rapprocher assez de la réponse, un demi, l'estimation est toujours trop basse.
Dernier problème :
J'ai donc eu l'envie de favoriser les valeurs dans le gros de la courbe, celle qui contribuent le plus à la valeur de l'intégrale, et comme je suis tellement génial, et bien pour favoriser une gaussienne je.. simule une gaussienne ? "clap clap", c'est beau !

Laule.. Avec mon super théorème, toutes les intégrales valent 1, c'est beau...
Bon évidemment je vois bien que cela est faux.
Ma question principale est donc, quelle erreur je commets dans mon raisonnement du problème 3 ?

[Epson]

Ah et je précise que j'ai déjà résolu mon problème de calcul d'intégrales, j'ai fait le bourrin en faisant mes rectangles comme un pécheur et en posant " un nombre très petit" , et c'est bien plus précis que la fonction "integrate" de R dans tous mes essais, ma question c'est surtout vis à vis de mon erreur de raisonnement !
Bon après j'imagine bien que si c'est si facile, c'est que ça doit être un mauvais estimateur.
Merci d'avance !