Proba de reconstituer une série au bout de n tirages.

[Frosty]

Bonjour,
J'ai un petit problème de proba qui se pose et malheureusement ça fait assez longtemps que je ne me suis plus plongé la dedans.

Pourtant ça ne devrait pas être bien compliqué, et plutôt que de rechercher dans mes restes de cours un brin bordéliques, j'aimerai qu'on me mette sur la piste tout simplement.

Voilà l'histoire:
Je cherche à déterminer le nombre de tirages nécessaires pour obtenir une probabilité minimun de tirer tous les composants différents de mon ensemble.
Pour expliciter un peu plus, mettons que j'ai un ensemble (à priori de taille infinie) contenant 10 types de pièces différentes, chacune en quantité identique (donc tirage équiprobable), et que je cherche à déterminer le nombre de tirages nécessaires pour avoir par exemple 90% de chances d'avoir au moins une pièce de chaque type en main.

Je pense que faire un tirage dans un ensemble de taille infinie où chaque pièce est représentée de façon équivalente peut être approximé par un tirage sur 10 pièces différentes avec remise entre chaque tirage.

Bon et après je ne sais plus trop...

[Frosty]

Je remonte le sujet!

[Ben314]

Salut,
Bon, évidement, c'est des probas, mais c'est pas des probas "totalement évidentes" : par exemple la formule qui donne la proba d'avoir sorti au moins une fois chacune des 10 pièces après avoir fait n tirages n'est pas super pratique à manipuler...
Le seul truc calculable simplement, c'est l'espérance du nombre de tirages nécessaires pour obtenir au moins une fois chacune des 10 piéces.
Cela provient du fait qu'il suffit d'ajouter, pour k de 0 à 9, le nombre moyen Tk de tirages nécessaires pour tirer une nouvelle pièce sachant que l'on en a déjà tiré k différentes.
Bien sûr T0=1 (=nombre de tirage nécessaire pour tirer la première pièce !!!)
Ensuite, si on a déjà tiré k pièces différente alors, à chaque tirage, la proba de tirer une pièce "qu'on a déjà obtenue" est de k/10 et la proba de tirer une "nouvelle pièce" est de (10-k)/10. Le nombre moyen de tirages nécéssaire à l'apparition d'une nouvelle pièce est donc de 10/(10-k).
Il faut donc :
- Systématiquement un tirage pour la première pièce
- En moyenne 10/9 tirages pour en obtenir une deuxième différente
- En moyenne 10/8 tirages pour en obtenir une troisième différente
...
- En moyenne 10/1=10 tirages pour en obtenir la dernière
Il faut donc en moyenne 10/10+10/9+10/8+...+10/1, c'est à dire environ 29 tirages pour obtenir les dix pièces.

[Frosty]

Ok avec ton raisonnement.

A titre indicatif, c'est quoi ta formule "pas super pratique à manipuler"?

Moi je partais sur un rapport entre le cardinal de mon ensemble et celui de l'ensemble des solutions acceptables, autant pour le premier c'est simple, autant pour le deuxième, j'ai du mal à trouver ce qui sous-tend le résultat.