Proba: Formule de transfert

[Syphax]

Bonjour,

Je n'arrive pas à comprendre le début du raisonnement et comment le théorème de transfert a été utilisé ici :

R suit la loi exp de paramètre 1
theta suit la loi unif [0,1]
R et Theta INDEPENDANTS.
Montrons que X=sqrt(R)*cos(2*pi*Theta) et Y=sqrt(R)*sin(2*pi*Theta) sont indépendantes :

Soit h une fonction mesurable positive (pourquoi ?)

E[h(X,Y)]=E[h(.......,......)] (remplacer X et Y)

= intégrale double (h(sqrt(R)*cos(2*pi*Theta),sqrt(R)*sin(2*pi*Theta))*f*dR*dTheta

avec f densité de (R,Theta), i.e ici le produit des densités de f et de Theta, soit : exp(-R)*IndicatriceSurR+(R)*IndicatriceSur[0,1](Theta).

Puis la suite de l'exo est compréhensible (coordonnées polaires, etc...) : à la fin, on arrive à Intégrale de h(x,y)*exp(-(x²+y²))*1/Pi*dx*dy. Or comme exp(-(x²+y²))*1/Pi est la densité d'un couple gaussien N(0,I/2), alors X et Y I.I.D de loi N(0,1/2).
Mais j'ai vraiment du mal avec le début. Et comme apparemment la prof nous a dit d'utiliser la fonction "test" si je me rappelle bien, ça m'aide encore moins que je n'ai pas entendu parlé de cette fonction. Pourtant, ça a l'air d'être un grand classique vu qu'on a utilisé cette méthode sur 3 exos de suite.

Merci !

[lionel52]

En fait 2 variables aléatoires X et Y à densité sont indépendantes si et seulement si la densité du couple (X,Y) peut s'écrire p(x,y) = q(x)*r(y)
Donc là tu cherches la densité du couple (X,Y)!

Comment la rechercher : tu utilises un autre résultat A et B ont même loi si et seulement si pour toute fonction mesurable et positive h on ait E[h(A)] = E[h(B)]

Ici dans l'exo il est écrit que E[h(X,Y)] = integrale(h(x,y)*exp(-(x²+y²))*1/Pi)dxdy
Par ailleurs par le théorème du transfert E[h(X,Y)] = integrale(h(x,y)p(x,y)dxdy

Pour connaitre la densité de (X,Y) il suffit de lire ce qu'il y a l'intérieur de l'intégrale et d'identifier : p(x,y) = exp(-(x²+y²))*1/Pi
et là tu remarques que p(x,y) = q(x)r(y) avec q(x) = 1/racine(pi)exp(-x²) et r(y) = 1/racine(pi)exp(-y²)

Donc X et Y sont bien indépendantes