PROBA : arrangements de taille n+m de n "1" et m"0"

[francoiss21200]

Bonjour

Je voudrais trouver quelqu'un qui me guide pour répondre à l'exercice ci dessous ( il y a 2 questions ):

Soit n et m 2 entiers naturels non nuls
On considère n symboles « 1 » et m symboles « 0 » qu’on doit aligner

Question 1 : Combien y-a-t-il de façon de le faire ?

On suppose que chacun des alignements a la même probabilité d’être choisi
Puis on va s’intéresser au nombre de sous alignements constitués uniquement de symboles « 1 »
et on notre X la v.a. égale à ce nombre

Et pour tout entier i compris entre 1 et n+m
on définit la v.a. qui vaut 1 si un sous alignement de «1» commence en place n° i
et vaut 0 sinon

par exemple pour n=4 et m=3
si w = ( «1», «0», «0», «1», «1», «0», «1»)
alors X vaut 3 et , , et les autres
si w = ( «1», «1», «1», «0», «1», «0», «0»)
alors X vaut 2 et , et les autres et les autres

Question 2 : pour tout entier i compris entre 1 et n+m donner la loi de
( on distinguera i= 1 et i > 1 )

Ecrire en fonction des . En deduire E(X)

Je sèche pour la 1ere question sur le nombre
car on a des arrangements de n+m éléments avec n "1" et m "0"...

Pour la question 2 comme et pour un i donné est un système complet d'événements
je pense qu'il va falloir utiliser la formule des probabilité totales


et


et comme on a
on peut peut être trouver une formule......


merci d'avance pour votre aide

[Ben314]

Salut

...car on a des arrangements de n+m éléments avec n "1" et m "0"...

Soit tu parle "d'arrangements" au sens donné par un dico. de Français (donc on ne peut plus vague et flou et quasi sans intérêt au niveau mathématique) et on peu considérer que c'est plus ou moins juste mais sans intérêt vu que le mot en question n'a pas de sens bien défini.
Soit tu parle "d'arrangements" au sens mathématique qu'on donne à ce mot dans un cours de dénombrement, et là, il n'y a plus aucune ambiguïté sur le sens de la phrase et... c'est parfaitement faux.

C'est quoi la définition mathématique d'un "arrangement" ?

Concernant la question 2), plutôt que de chercher désespérément des "mots clef" dans un énoncé, du style "vu que l'énoncé contient le mot ??? c'est que la réponse contient le mot ???" comme le ferait sans doute un ordinateur dénué de la moindre pensée, ne serait-il pas plus judicieux de chercher à comprendre l'énoncé de façon à comprendre le lien qu'il y a entre les différentes quantités dont cet énoncé parle ?

Ce type de truc, ça me fait penser au type qui, face à une question te dirait que, vu que le mot "chat" est dans la question (en ne regardant bien sûr absolument pas les autres mots), c'est surement qu'il y a le mot "souris" dans la réponse : ça te semble fiable comme raisonnement, toi ?

P.S. : Pour le moment, vu les questions (archi basiques) posées, ça n'a pas le moindre début de rapport avec la formule des probas totales.

[francoiss21200]

un arrangement de k éléments dans un enseble à n éléments est un k uplets ordonné sans répétition qui est calculable par une formule avec des factorielles

et c'est vrai que dans mon exercice je ne peux pas forcément différencier...
car il y a n éléments qui sont des "1" et m éléments qui sont des "0"

[Ben314]

un arrangement de k éléments dans un ensemble à n éléments est un k uplets ordonné sans répétition qui est calculable par une formule avec des factorielles.

O.K., mais quel est le lien entre ça est l'exo en question.
Plus précisément, selon toi, dans cet exo. particulier, c'est qui les "éléments" dont tu parle et surtout, ça représente quoi (dans cet exo) les k-uplets (ordonné sans répétition) que l'on compte.

[francoiss21200]

j'ai des k-uplets constitués de n symboles "1" et m symboles "0" donc avec des n+m uplets avec des répétitions.....
donc pour répondre à votre question => K-uplets ordonné sans répétition
cela revient à faire un tirage dans une urne sans remise avec des boules de 2 couleurs
et cela me fait penser à une une loi hypergéométrique mais je n'ai aucune idée pour les dénombrer

Après dans la question 2 si on est capable de les dénombrer
est ce que vos explications veulent dire qu'on peut utiliser la formule sur l'équiprobablité ?

[Ben314]

j'ai des k-uplets constitués de n symboles "1" et m symboles "0" donc avec des n+m uplets avec des répétitions.....

Donc si je comprend bien tes k-uplets, (avec en fait k=n+m) ils sont constitués de 0 ou de 1 du style du (1, 0, 0, 1, 1, 0, 1) de l'exemple.
Jusque là, pas de soucis. Sauf que tu as toi même écrit que :

un arrangement de k éléments dans un ensemble à n éléments est un k uplets ordonné sans répétition qui est calculable par une formule avec des factorielles

Tu as pas un tout petit peu l'impression que disont poliment que "ça colle pas vraiment" avec (1, 0, 0, 1, 1, 0, 1) ?

[francoiss21200]

Oui je suis en accord avec vos explications
et je cherche une formule qui permettrait de calculer nombre total

et je bloque pour calculer ce nombre :

j'essaie de prendre n=1 et m=1 puis d'augmenter pour voir une logique
et cela ne débouche sur rien qui me parle...

[Ben314]

Je te laisse un peu "mariner" avec quelques "vagues" indications :
- Faut pas chercher compliqué : c'est (quasiment) une définition et le tout c'est de poser le problème correctement.
- La vision du truc comme des (m+n)-uplet, c'est certes correct, mais c'est pas vraiment la bonne façon de voir les choses, en particulier parce que tu sait pas trop comment traduire simplement le fait qu'il doit y avoir un nombre prédéfini de "1" et de "0" dans ton (m+n)-uplet.

[francoiss21200]

Re-bonsoir

Je viens d'écrire un truc complétement faux que je viens d'éffacer

Mon idée est d'essayer de dire que le calcul du dénombrement des n+m uplets
qui contient k symboles "1" ( avec 1 <= k < = n )
et donc forcément n+m-k symboles "0"

est égal à d'un truc que je ne sais pas trop explicité.....

Question :
Suis-je sur la bonne piste ?

[Ben314]

Mon idée est d'essayer de dire que le calcul du dénombrement des n+m uplets
qui contient k symboles "1" ( avec 1 <= k < = n )
et donc forcément n+m-k symboles "0"
est égal à d'un truc que je ne sais pas trop explicité.....

Question :
Suis-je sur la bonne piste ?

Déjà "ton" , ben c'est le de l'énoncé.
Ensuite, non, je dirais plutôt que "NON, c'est pas la bonne piste". A la limite, ça peut aboutir, mais ça sent fortement le "pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué" voire le "je redit exactement la même chose mais avec des mots différents et je tourne en rond".

Là, la bonne vision du schmilblick, c'est simplement de dire que de se donner un (n+m)-uplet avec n fois "1" et m fois "0", c'est exactement la même chose que de se donner les emplacement des n "1" parmi les n+m "cases" du (n+m)-uplet.
Il y a donc autant de tels (n+m)-uplets que de façons de choisir n objets parmi n+m, c'est à dire qu'il y en a (coefficient binomial).