[Développement limité] Principe global ?

[Wenneguen]

Bonjour bonsoir,

j'ai des développements limités à calculer mais j'avoue ne pas très bien comprendre comment ça marche :triste:
En gros on applique la formule de Taylor-Young et c'est bon ? Il me semble qu'il existe des méthodes plus rapides, mais quelles sont-elles ? :hein:

Par exemple pour calculer un DL en 0 à l'ordre 4 de 1/(sin²x) - 1/(sh²x), appliquer la formule de Taylor-Young me paraît trop pénible pour pouvoir être la méthode recommandée, me trompe-je ?

Quelqu'un pourrait-il m'indiquer en détails ( au niveau du raisonnement seulement, pour les calculs je peux me débrouiller ) les étapes à suivre pour mener à bien cet exercice et ainsi me redonner de l'espoir quant à ce chapitre qui est semble-t-il très important ?

Merci :we:

[Nightmare]

Salut,

en réalité, on applique rarement les formules de Taylor pour avoir un DL, sauf si les dérivées sont vraiment simples à calculer. Taylor va plutôt servir dans le sens inverse, c'est à dire en ayant déjà le DL, trouver les valeurs des dérivées successives au point du DL.

En général, pour calculer un DL, on va procéder par opération sur les DL : On écrit les DL des fonctions usuelles qui entrent en jeu, puis on utile les opérations usuelles sur les DL.

[mathelot]

Bonjour,

en pratique pour les fonctions usuelles (exp,log,puissances,fractions rationnelles,..)
ie, quand la croissance de la dérivée n-ième n'est pas trop rapide avec ,ce qui permet de majorer le "reste intégral" de la série de Taylor-MacLaurin de la fonction et d'obtenir une série de Taylor convergente vers de la fonction
(on dit alors que la fonction est analytique réelle)
dans ces conditions le DL est simplement les premiers termes de la série de Taylor.

Formellement, ces séries de Taylor, d'indéterminée , se dérivent et s'intégrent



en intégrant formellement


Les séries formelles constituent un anneau, elles s'additionnent, se multiplient,
se composent (sous certaines conditions).

L'intéret, c'est que les premiers termes de la série de Taylor de f (on en considère un nombre fini),
en remplaçant l'indéterminée par la variable réelle
donne une fonction polynomiale, qui, localement, va être une bonne approximation
de la fonction. Et là, les considérations d'approximation uniforme locale reprennent alors
tous leurs sens au détriment de l'Algèbre.

évidemment, la démarche inverse est possible, c'est une idée d'A.Grothendieck, que l'on peut définir des infinitésimaux en Algèbre formelle par des matrices nilpotentes, ce qui correspond p-e
à tronquer un développement analytique à partir d'un certain rang.