Primitive (ax^2)/(b-c*racine(x))

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QuentinGC11
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Primitive (ax^2)/(b-c*racine(x))

par QuentinGC11 » 11 Déc 2017, 17:07

Bonjour,

Je viens vers vous parce que j'ai quelques difficultés à déterminer une primitive de ceci :

dt = (ax^2)/(b-c*racine(x)) dx
Je cherche donc T(x).

Avec :
a, b et c des constantes positives

J'ai essayé l'intégration par parties, sans succès. J'ai aussi regardé sur des forums, et ça ne m'a pas vraiment aidé. Si vous pouviez m'aider ce serait vraiment super.

Merci d'avance.
Modifié en dernier par QuentinGC11 le 11 Déc 2017, 17:48, modifié 1 fois.



Mimosa
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Re: Primitive (ax^2)/(b-c*racine(x))

par Mimosa » 11 Déc 2017, 17:43

Bonjour

Tu cherches des primitives? Ce que tu as écrit n'est pas une intégrale!
Après avoir spécifié le domaine où la fonction à intégrer est définie, tu peux faire le changement de variable .

QuentinGC11
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Re: Primitive (ax^2)/(b-c*racine(x))

par QuentinGC11 » 11 Déc 2017, 17:50

Ah oui pardon je n'ai pas fait attention.
J'ai corrigé le premier post. En fait je cherche la fonction T(x).
C'est vrai que je n'ai pas essayé le changement de variable. Je vais tester.

Mimosa
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Re: Primitive (ax^2)/(b-c*racine(x))

par Mimosa » 11 Déc 2017, 18:03

Attention, il n'y a pas unicité! Tu cherches une fonction dont la dérivée soit la fonction donnée!

QuentinGC11
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Re: Primitive (ax^2)/(b-c*racine(x))

par QuentinGC11 » 11 Déc 2017, 18:09

Oui. Peut-être que ça demande plus d'explication. En fait c'est un problème de mécanique des fluides. T(x) est la fonction qui indique le temps qu'il se passe pour que le niveau d'eau passe d'une côte x1 à x2 quelconques, et le niveau descend forcément. Là je cherche la primitive de ce problème, et ensuite avec mes conditions initiales je déterminerai les constantes d'intégration.

Mimosa
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Re: Primitive (ax^2)/(b-c*racine(x))

par Mimosa » 11 Déc 2017, 18:20

Ok. Si tu as des conditions, tu peux parler de la fonction...

QuentinGC11
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Re: Primitive (ax^2)/(b-c*racine(x))

par QuentinGC11 » 11 Déc 2017, 22:13

Ok donc voilà mon avancement. J'ai besoin de savoir si je dois continuer avec des IPP, et tout d'abord si je n'ai pas fait d'erreur normalement. (J'ai changé les x en z parce que ça correspond à mon problème, et vu qu'il y a pas mal à écrire ce sera plus facile pour moi).

Alors ça donne :

dt = (az^2) / (b-c*sqrt(z)) dz
Je pose u = sqrt(z)
Alors du = 1/(2*sqrt(z)) dz -> dz = 2u du

Donc dt = (2au^5)/(b-cu) du. Donc T(z)="Signe intégrale" (2au^5)/(b-cu) du
Et là je fais une IPP avec :
u'=1/(b-cu) -> u=(-1/c)*ln(b-cu) (Pour le signe de ln, voir la remarque en bas)
v=2au^5 -> v'=10au^4

Et là j'ai : T(z) = (-a/c) [2ln(b-cu) u^5 - 10 * "signe intégrale" ln(b-cu)u^4 du] + C1

Je m'intéresse qu'à l'intégrale : A= "signe intégrale" ln(b-cu)u^4du
Et là, encore une IPP :
u' = u^4 -> u = u^5/5
v = ln(b-cu) -> v' = (-cu')/(b-cu)= -c/(2u(b-cu))

Et là j'obtiens A = (1/5)ln(b-cu)u^5 + (c/10) * "signe intégrale" u^4/(b-cu)du

Et là je remarque que j'obtiens une intégrale qui ressemble à celle de départ, sauf que j'ai baissé le degré du polynôme du numérateur de un degré.
Donc ma question, est-ce que je dois faire encore 3*2 fois des IPP pour abaisser à une intégrale de la forme u'/u ?

Après tout ça, je me suis rendu compte que b-cu dans le ln est toujours négatif, donc c'est totalement faux la suite du calcul. Ça devient compliqué, et là je n'ai plus d'idée. Je demanderai à mon prochain TD. Mais si vous aviez des idées, je veux bien les prendre :D
De plus, j'ai remarqué que si je remet A dans T(z), les termes avec ln(b-cu) vont s'annuler. Du coup je me demande si c'est si grave ?


PS : c'est normal que l'éditeur d'équation, quand on clique sur "Insérer dans la zone de texte", eh ben ça ne marche pas ? Parce que ça dois être illisible pour vous là --'

Pisigma
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Re: Primitive (ax^2)/(b-c*racine(x))

par Pisigma » 12 Déc 2017, 00:00

Bonsoir,

une autre piste



poser







....

Mimosa
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Re: Primitive (ax^2)/(b-c*racine(x))

par Mimosa » 14 Déc 2017, 17:32

En reprenant depuis le début. On fait le changement de variable , d'où , on trouve

(ce que tu avais)
Pour ce faire, fais la division euclidienne du numérateur par le dénominateur, tu auras des puissances de et à la fin quelque chose sur . Une primitive sera de la forme

Tu peux chercher les coefficients en dérivant cette expression et en identifiant les coefficients. Ce ne sera sûrement pas drôle...
Une simplification possible est de commencer par mettre en facteur et donc et . Ca ne laisse que deux paramètres.

Black Jack

Re: Primitive (ax^2)/(b-c*racine(x))

par Black Jack » 14 Déc 2017, 18:47

Poser Vx = t ... (voir Mimosa)

La division euclidienne de 2a.t^5/(b-ct) donne : -2a*[t^4/c + (b/c²)t³ + (b²/c³).t² + (b^4/c^4).t + b^4/c^5 + (b^5/c^5)/(ct-b)]

Une primitive est alors immédiate : -2a * [t^5/(5c) + (b/c²)t^4/4 + (b²/c³).t³/3 + (b^4/c^4).t²/2) + b^4/c^5 * t+ (b^5/c^5)*ln|ct-b|]

Et en remplaçant t par Vx -->

S ax²/(b-cVx) dx = -2a * [x^(5/2)/(5c) + (b/c²).x²/4 + (b²/c³).x^(3/2)/3 + (b^4/c^4).x/2) + (b^4/c^5)*Vx + (b^5/c^5)*ln|ct-b|]

8-)

QuentinGC11
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Re: Primitive (ax^2)/(b-c*racine(x))

par QuentinGC11 » 14 Déc 2017, 19:16

Merci pour votre aide. Je vais regarder ce que je peux faire.
Je voulais juste dire avant qu'une astuce était d'exprimer c en fonction de b, et de sortir b (ce que vous ne pouviez pas savoir, dsl).

Ça donne ça :

dt= (a/b) * (x^2) / (sqrt(5) - sqrt(x)) dx

J'ai posé t=sqrt(x)/sqrt(5)
D'où dt = 1/(10*t) dt
x^2 = 25 t^4 et dx = 10 t dt


Ca donne donc : T(x) = (250 *a/b) * "signe intégrale" (t^5)/(1-t) dt
C'est déjà plus joli :D

Voilà, j'y réfléchis et je vous dirai ce que ça donne.

QuentinGC11
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Re: Primitive (ax^2)/(b-c*racine(x))

par QuentinGC11 » 14 Déc 2017, 20:15

Donc j'ai fait la division euclidienne T^5/(1-t) ce qui donne :

-1 * (t^4 + t^3 + t^2 + t + 1) + 1/(1-t)

( D'ailleurs c'est là première fois que je fais ça, c'est cool j'ai appris un truc ::d )

Bon par contre, d'accord c'est facile de trouver une primitive du polynôme. Mais la primitive de 1/(1-t), c'est pas - ln(abs(1-t)) si je ne dis pas de bêtises.

Parce que (ln(u))' = u'/u. Or ici, (1-t)' ça fait du -t' = -1/(10t) dt
Du coup ?

Black Jack

Re: Primitive (ax^2)/(b-c*racine(x))

par Black Jack » 15 Déc 2017, 13:04

Où est le soucis ?

(ln|u|)' = u'/u

Si on pose u = 1-t, alors u' = -t' et il vient :

(ln|1-t|)' = -t'/(1-t)
***
Si u est fonction de x par exemple, alors u' = du/dx et t' = dt/dx

(ln|1-t|)' = -t'/(1-t)
d(ln|1-t|)/dx = -1/(1-t) dt/dx

d(ln|1-t|) = -1/(1-t) dt

Et en intégrant :

ln|1-t| = S -1/(1-t) dt + C

S 1/(1-t) dt = - ln|1-t| + C

ou pour être plus précis :

S 1/(1-t) dt = - ln|1-t| + C1 pour t < 1
S 1/(1-t) dt = - ln|1-t| + C2 pour t > 1

Avec C1 et C2 des constantes réelles indépendantes.

8-)

QuentinGC11
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Re: Primitive (ax^2)/(b-c*racine(x))

par QuentinGC11 » 17 Déc 2017, 19:00

Non en fait il n'y a pas de soucis ;)
Pour S 1/(1-t)dt, je suis repassé avec ma variable initiale, ce qui a fait apparaître la dérivée de ln|u|.

Donc problème résolu.
Merci pour votre aide !
Bonne soirée ;)

 

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