Primitivation épuisante

[Lostounet]

Hello,

Je dois intégrer:

entre 0 et x.

J'ai essayé une décomposition en éléments simples (ça prend 20 minute à la main) et une IPP, et un changement de variable (je tombe sur des trucs horribles là). Dans tous les cas c'est un peu lourd niveau calcul.

Avez-vous une astuce?

La primitive a vraiment une tête sympa en plus.

[Ben314]

Salut.
Vu que le terme autre que le log est évident à "primitiver" (de la forme u'/u²) je sauterais immédiatement sur une I.P.P. avant toute autre chose.
Aprés... ça va dépendre de la fraction rationnelle restant à intégrer obtenue...

[Lostounet]

Salut.
Vu que le terme autre que le log est évident à "primitiver" (de la forme u'/u²) je sauterais immédiatement sur une I.P.P. avant toute autre chose.
Aprés... ça va dépendre de la fraction rationnelle restant à intégrer obtenue...

Je trouve une décomposition moche:



Dont certains termes s'intègrent en Arctan... J'ai pas envie de faire deux IPP de ln et d'arctan... :/ Pas d'autres moyens?

[Ben314]

Je comprend pas d'où tu sort tes (salles) trucs.



Ou alors, c'est que tu as pas été malin et que tu as pris une primitive "au pif" pour u(t) sans penser à prendre celle qui s'annule en 0 ? :zen:

[Lostounet]

Ma méthode était vraiment mais alors vraiment pas intelligente: je voulais faire une décomposition en éléments simples de t^2/(t^3 + 1)^2, puis tout multiplier par ln(t) et faire des IPP pour chaque terme....

C'est étonnant: pourquoi j'ai pas vu que 1/(t^3 + 1) se dérivait en du t^2/t^3... ?
Quelle est la formule donnant u'/u^n ??

[Ben314]

Quelle est la formule donnant u'/u^n ??

Si la question est "quelles sont le primitives de " alors la réponse est si n=1 et si n est différent de 1.

[Lostounet]

Juste une question, tu as choisi la constante pour que u(0) = 0... mais pour que l'IPP marche il ne faut pas choisir la constante pour que u(1) = 0?

[Ben314]

Quand tu fait une I.P.P., tu peut prendre n'importe quoi comme primitive de la fonction "à primitiver" (il sufit de ragarder la preuve de l'I.P.P. qui résulte immédiatement de (uv)'=u'v+uv').
Et ici, si j'ai pris la primitive u(t) qui s'annule en 0, c'est que sinon tu as de gros soucis avec le terme tout intégré uv que tu est censé prendre entre 0 et x (et ça déconne en 0).
Donc soit tu fait des intégrales de epsilon à x et à la fin tu fera tendre epsilon vers 0 (et forcément le uv qui tend vers l'infini sera compensé par autre chose vu que l'intégrale de départ est convergente en 0).
Soit... tu prend une primitive qui s'annule en 0 et tu n'a pas à te faire c...

Comme entrainement, tu peut essayer de rédiger le truc en prenant et en écrivant

et tu verra que c'est une "astuce" qui, dans le cas présent, est fort utile.

[Ben314]

Quand tu fait une I.P.P., tu peut prendre n'importe quoi comme primitive de la fonction "à primitiver" (il sufit de ragarder la preuve de l'I.P.P. qui résulte immédiatement de (uv)'=u'v+uv').
Et ici, si j'ai pris la primitive u(t) qui s'annule en 0, c'est que sinon tu as de gros soucis avec le terme tout intégré uv que tu est censé prendre entre 0 et x (et ça déconne en 0).
Donc soit tu fait des intégrales de epsilon à x et à la fin tu fera tendre epsilon vers 0 (et forcément le uv qui tend vers l'infini sera compensé par autre chose vu que l'intégrale de départ est convergente en 0).
Soit... tu prend une primitive qui s'annule en 0 et tu n'a pas à te faire c...

Comme entrainement, tu peut essayer de rédiger le truc en prenant c'est à dire en partant de

et tu verra que c'est une "astuce" qui, dans le cas présent, est fort utile.

[Lostounet]

La première partie de l'exo demande entre 1 et x et la deuxième entre 0 et x.

Dans ton exemple, j'ai du -infini dans le 2e terme, et si j'intègre le 1/t(t^3 + 1) entre epsilon et x, je trouve du - (- infini) = + infini
C'est cela que tu veux dire? Il y a une sorte de compensation.

Et si l'intégrale diverge je peux alors ajouter moi-même des termes (changer l'intégrande) pour "faire en sorte" que ça "converge" par cette "astuce"?

[Ben314]

Dans ton exemple, j'ai du -infini dans le 2e terme, et si j'intègre le 1/t(t^3 + 1) entre epsilon et x, je trouve du - (- infini) = + infini
C'est cela que tu veux dire? Il y a une sorte de compensation.

Oui : aprés calculs, il doit forcément y avoir compensation vu que la fonction don on est parti se prolonge gentiment par continuité en 0 donc que l'intégrale qu'on est en train de calculer ne peut pas être infinie.
Fait les calcules un peu plus loin pour voir la "miraculeuse" compensation (en fait il suffit d'une ligne de plus consistant à écrire 1/(t(t^3+1)) sous la forme a/t+?/(t^3+1).

Et si l'intégrale diverge je peux alors ajouter moi-même des termes (changer l'intégrande) pour "faire en sorte" que ça "converge" par cette "astuce"?

Je comprend pas trop la question donc je le (re)dit :
Dans une I.P.P., tu prend ce qui t'arrange comme primitive u du terme u' (si au départ tu as u'v) et, dans certains cas (assez rares), il y a des choix plus astucieux que d'autres.
Par exemple ici...

Un autre cas "classique", c'est dans la preuve du théorème de Taylors avec reste intégral (qu'on obtient en faisant des I.P.P. en cascade) et où tu attaque en disant que la primitive de 1 que tu prend, c'est pas x, mais x-xo (dans le contexte, ça parait évidement naturel)