Primalité de 2^(2^32) + 1

par **nathanap** » 09 Juil 2010, 16:52

Bonjour,
Peut-on prouver que le 32ème nombre de Fermat n'est pas premier ? (et est-ce seulement vrai ?) Merci.

par **mathelot** » 10 Juil 2010, 08:36

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par **nodjim** » 10 Juil 2010, 08:51

F32 n'est pas premier, je ne connais pas personnellement le facteur connu, mais c'est un fait. On ne connait pas la décomposition complète de ce nombre.

Comment sait on cela ?
Prendre un nombre premier p au hasard, et étudier la suite qui commence à 2 et telle que u(n+1)=un² modulo p. C'est une suite finie. Si on tombe sur -1 (puis forcément sur que des +1 ensuite) c'est que p divise un nombre de Fermat.

par **mathelot** » 10 Juil 2010, 09:02

nodjim a écrit:Prendre un nombre premier p au hasard, et étudier la suite qui commence à 2 et telle que u(n+1)=un² modulo p.

au hasard,p-e pas. plutôt de la forme

comme expliqué plus haut ?

si

, alors

non premier
si

, on a bossé pour rien

par **nodjim** » 10 Juil 2010, 09:34

Dire "prendre un nombre p premier au hasard" est une image.
Pratiquement, on étudie la suite indiquée pour tous les nombres premiers à partir de 3. Celles qui tombent sur -1 donnent un diviseur d'un nombre de Fermat. J'ai bien dit -1.

par **mathelot** » 10 Juil 2010, 10:01

D'après Wolfram

par **nodjim** » 10 Juil 2010, 11:05

Non, 641 divise F5, c'est à dire 2^2^5+1, ou 2^32+1.
F5 est le premier nombre dont la factorisation n'a pas été cherchée par Fermat, ce qui lui avait laissé conjecturer, à tort, la primalité de tous ces nombres.

par **mathelot** » 10 Juil 2010, 11:12

nodjim a écrit:Non, 641 divise F5

exact :hum:

Primalité de 2^(2^32) + 1

Primalité de 2^(2^32) + 1

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