Primalité dans un anneau intègre

[chombier]

Bonjour,

J'ai un problème avec le Perrin :




C'est le petit a) qui m'ennuie. Déjà le "sans aucune hypothèses" est un peu fort, pour moi premier => irréductible est vrai dans le cas d'un anneau intègre, pas dans le cas général. Ensuite je ne vois aucune preuve d'irréductibilité dans le texte.

Je situe le contexte : A est un anneau intègre (donc commutatif et unitaire).

Voici mes définitions / équivalences :
Def : un idéal I de A est premier si A/I est intègre
Prop : un idéal I de A est premier ssi : I est non nul et
Def : p est premier si (p) est un idéal premier non nul de A
Rem : un anneau intègre est non nul, donc A n'est pas un idéal premier de A
Prop : p est premier si

Def : p est irréductible si :

J'ai bien une démonstration de A intègre, p premier => p irréductible mais elle n'a rien à voir avec celle du Perrin. (Je ne vois même pas où Perrin utilise l'intégrité de A dans sa démonstration).

Des explications, des idées ?

[chombier]

Le 3) me dérange aussi :

Si A est intègre, est un idéal premier de A. En effet, est intègre.

Pourtant 0_A n'est pas irréductible.

Il faudrait écrire (dans le cas d'un anneau factoriel)
3)

[hdci]

La définition de "irréductible" n'est donnée que dans le cas d'un anneau intègre dans le Perrin (page 46 "nous supposerons désormais A intègre" et la définition 3.10 "irréductible" vient juste après), d'où la mention "soit A intègre".

"A intègre" justifie :

• Si est premier et , alors soit soit est dans .
• Fixons donc et soit et
• Finalement est inversible ; donc irréductible.

La phrase "sans aucune hypothèse" doit s'interpréter comme "il n'est pas nécessaire que A intègre vérifie (E)"

[chombier]

Je suis d'accord avec toi, sauf que le Perrin ne termine pas comme toi. Sa fin est bizarre.

Et il manque quand même l'hypothèse que p est différent de 0.

Par exemple, dans Z, (0) est un idéal premier car Z/(0) est intègre (il est isomorphe à Z). Pourtant 0 n'est pas irréductible par définition.

[hdci]

Je suis d'accord avec

3) irrréductible et ) premier

Je l'écrirais plutôt ainsi d'ailleurs
irréductible premier

[Elias]

Bonjour,


Prop : un idéal I de A est premier ssi :

Attention, il faut rajouter ici
Car avec cette définition, A serait un idéal premier, ce qui n'est pas le cas (A/A, anneau réduit à {0} n'est pas intègre).
On rajoute également (on exclue {0} par définition)

Ensuite, l'hypothèse d'intégrité s'utilise ici dans la démo de hdci:

donc et soit et [/tex]


Pour moi, il n'y a aucune raison de se restreindre aux anneaux intègres pour donner la définition d'irréductibilité.


Ensuite, la fin de Perrin est juste non détaillée mais il termine comme nous dans sa pensée.



Enfin, concernant (0), il n'est pas premier car dans la définition même d'ideal premier (que tu reprends dans ton premier post), on exclue 0. Ce n'est pas également la définition de Perrin ?

Def : p est premier si (p) est un idéal premier non nul de A

[hdci]

Pour moi, il n'y a aucune raison de se restreindre aux anneaux intègres pour donner la définition d'irréductibilité.

Sauf que sans l'intégrité, n'implique pas du tout que b est inversible.
Le Perrin reste logique dans sa structure : on est dans le cas d'un anneau intègre, on donne la définition de l'irréductibilité... Mais si on "inverse", alors la mention "sans aucune hypothèse" est fausse car si l'anneau n'est pas intègre on n'arrive pas à "premier donc irréductible"

Enfin, concernant (0), il n'est pas premier car dans la définition même d'ideal premier (que tu reprends dans ton premier post), on exclue 0. Ce n'est pas également la définition de Perrin ?

Dans le Perrin ce qui est exclu c'est : est premier si et ou , avec cette définition (équivalente à intègre dans un anneau intègre cf. définition 1.3 du Perrin) l'idéal est premier.

[Elias]

Pour moi, il n'y a aucune raison de se restreindre aux anneaux intègres pour donner la définition d'irréductibilité.

Sauf que sans l'intégrité, n'implique pas du tout que b est inversible.
Le Perrin reste logique dans sa structure : on est dans le cas d'un anneau intègre, on donne la définition de l'irréductibilité... Mais si on "inverse", alors la mention "sans aucune hypothèse" est fausse car si l'anneau n'est pas intègre on n'arrive pas à "premier donc irréductible"

Oui bien sûr, c'est même ce que je dis plus haut dans mon post (que l'intégrité s'utilise précisément ici).

Ce que je critique, c'est la construction du cours. On pourrait donner la définition d'irréductibilité dans un anneau quelconque et lorsqu'on arrive à cette proposition, on rajouterait l'hypothèse "si A est intègre, alors..."
Cela permet de voir que l'hypothèse "A intègre" est nécessaire précisément à cette endroit là.

D'ailleurs, dans un cours quelconque, on n'impose pas l'intégrité pour donner simplement la définition d'irréductibilité.

Enfin, concernant (0), il n'est pas premier car dans la définition même d'ideal premier (que tu reprends dans ton premier post), on exclue 0. Ce n'est pas également la définition de Perrin ?

Dans le Perrin ce qui est exclu c'est : est premier si et ou , avec cette définition (équivalente à intègre dans un anneau intègre cf. définition 1.3 du Perrin) l'idéal est premier.

[/quote]

D'accord, je n'ai pas le Perrin sous la main mais du coup, chombier a une autre définition.

[chombier]

Merci, j'ai modifié ma caractérisation de la primalité d'un idéal.

J'ai bien vu dans la démo de hdci à quel endroit l'intégrité de A est utilisée. J'adore le Perrin mais je trouve quand même qu'il manque un truc. Il faut que je m'habitue sans doute.

Sinon, voici ses définition d'un anneau intègre et d'un idéal premier :
Dans le chapitre sur les anneaux, tous les anneaux sont commutatifs et unitaires.

Un anneau A est dit intègre si :
1)
2)

Soit A un anneau, I un idéal de A, I est dit premier ssi l'anneau A/I est intègre. Il reviens au même d'imposer :
1)
2)

Il manque donc dans le Perrin le fait que p doit être non nul. Voici la bonne propriété :
Si A est intègre, et si (p) est un idéal premier non nul, alors p est irréductible

On dit souvent que p est premier si (p) est un idéal premier non nul.

Perrin oublie le "non nul".

J'ai le Perrin sous la main, j'ai les mêmes définitions que lui. Si A est intègre, (0) est un idéal premier de A.

[chombier]

C'est chaud bouillant le Perrin quand même. Je veux me convaincre que 4) => 2)
Autrement dit que si A intègre vérifie le théorème de Gauss, il vérifie le lemme d'Euclide

A est un anneau intègre (donc commutatif, non nul).

--------- Lemme : si est irréductible et si n'est pas premier avec , alors divise ---------
Preuve : n'est pas premier avec donc




Or
donc



donc

--------- Preuve de 4) => 2) ---------

est irréductible

On veut montrer que ou

Si ne divise pas :
Comme est irréductible et que ne divise pas , est premier avec
(c'est la contraposée du lemme précédent)


Si ne divise pas alors

Conclusion ;