L2-Preuve progressive du TH de Cayley-Hamilton

[Manitwoo]

Bonjour à tous, j'ai quelques petites difficultés à réaliser mon exercice, j'espère que vous pourrez m'aider.

Soit
V un Espace Vectoriel de dimension finie sur un corps K.
f:V-V un endomorphisme de V.
appartient à V tel que different

On pose en remarquant que infegal ... infegal

Il y a donc toute une série de question que je ne mettrai pas pour ne pas surcharger, je mettrai uniquement celles qui me posent problème.

Q1.1: Montrer que si , alors
R1.1: J'ai donc écrit Soit appartient K, On a Or donc

A partir de là, puis-je dire que et donc l'endomorphisme est nilpotent d'ordre m ? Dans ce cas j'aurai avec et donc ?

J'attends confirmation (ou infirmation ?) avant de publier la suite, et je vous remercie d'avance.

[Doraki]

Q1.1: Montrer que si , alors
R1.1: J'ai donc écrit Soit appartient K, On a Or donc

A partir de là, puis-je dire que et donc l'endomorphisme est nilpotent d'ordre m ? Dans ce cas j'aurai avec et donc ?

J'attends confirmation (ou infirmation ?) avant de publier la suite, et je vous remercie d'avance.

a0.x + a1.f(x) + ... + am.f^m(x) est un élément de X(m+1), ce n'est pas X(m+1).
De même, a0.x + ... + a(m-1).f^(m-1)(x) n'est pas X(m), et de toutes façon je ne sais pas ce que tu veux dire quand tu additionnes un sous-espace vectoriel avec un vecteur.
Donc non tu ne peux pas conclure que tous les endomorphismes sont nilpotents parceque c'est faux.

Par exemple, prend f(x) = x.
X(1) = Vect(x).
X(2) = Vect(x,f(x)) = Vect(x,x) = Vect(x) = X(1)
X(3) = Vect(x,f(x),f(f(x))) = Vect(x,x,x) = Vect(x) = X(2) ...
mais quand on prend un vecteur au hasard, f(f(x)) n'est pas forcément nul.

[Manitwoo]

Oui je me suis rendu compte un peu après avoir posté que je ne pouvais ajouter des vecteurs à un ensemble. J'ai donc essayé de montrer que est inclus dans

donc est un vecteur propre de (D'après la Q précédente).



Soit appartient
donc

donc est inclus dans
l'autre inclusion étant déjà démontrée.