Préservation du déterminant

[rdt]

Bonsoir

Je souhaite transformer une matrice pour faciliter le calcul de son déterminant.
Est-ce que l’opération suivante ne change pas le déterminant de cette matrice :
(0) ajouter un multiple de la ligne r, à la ligne s;
(1) ajouter un multiple de la ligne s, telle quelle était avant l’opération (0), à la ligne r?

Je conçois que oui s'il existe un multiple xs de s (après (0)) tel que xs = s (avant (0)), mais qu'en est-il en général?
Si la réponse admet une explication peu technique (je débute en algèbre linéaire), je la prendrai volontiers.

Merci d’avance

[Archytas]

Salut,

(0) Oui tu peux (c'est une conséquence directe du fait que le déterminant est une forme alternée).
(1) Non tu peux pas : prends la matrice identité 2x2 (de déterminant 1). Ajoute la première ligne à la seconde et l'ancienne deuxième ligne à la première (ça donne la matrice 2x2 avec que des 1 dedans) tu obtiens une matrice de déterminant 0 donc elle n'est pas semblable à la première.

[rdt]

merci Archytas!

Bonne continuation

[pascal16]

Un truc qui marche pas mal pour les raisonnements sur les déterminant comme forme n-linéaire alternée, c'est de penser le déterminant comme un déterminant de vecteur.

pour une matrice 2*2 :
det(M) est en fait det (L1,L2)

det (L1+kL2,L2) = det(L1,L2)+det(kL2,L2) = det(L1,L2)+0 =det(L1,L2)

det (L1+L2,L2+L1) = det(L1,L2)+det(L2,L1)+0+0=det(L1,L2)-det(L1,L2)=0

on peut généraliser avec deux indices