Prepa MPSI Inéquation avec symbole somme

[lucie08]

Bonjour
Je suis en galère sur un exercice d'entraînement de mathématiques
Nous avons surtout vu jusque là les ensembles, la récurrence et le télescopage.
Si vous pouviez m'aider, ce serait super !

Exercice 1.7 : les questions sont indépendantes.

1. Montrer que pour tout nEN*, 1/2< {Somme de k=1 à n} 1/n+k <1

2. Montrer que pour tout nEN*, 1/2 < {Somme de k=1 à n} n/(n^2)+k < 1

Merci d'avance !

[LB2]

Bonjour Lucie,

essaie d'écrire avec les balises TEX accessibles dans l'éditeur :
Soit un entier supérieur ou égal à 1. Montrer :

1.
2.

[LB2]

Tu as affaire ici à des sommes finies de nombres positifs.
Pour majorer la somme, essaie de majorer chaque terme.
Pour minorer la somme, essaie de minorer chaque terme.

D'ailleurs, peut-être as tu mal recopié l'énoncé et les inégalités sont au sens large?
Car si tu prends n=1 dans 1. ou dans 2. , chaque somme vaut 1/2, ce qui met en défaut l'inégalité stricte.

[lucie08]

En effet ce n'est pas au sens strict mais je n'avais pas d'autre symbole sur mon téléphone

[lucie08]

Tu as affaire ici à des sommes finies de nombres positifs.
Pour majorer la somme, essaie de majorer chaque terme.
Pour minorer la somme, essaie de minorer chaque terme.

D'ailleurs, peut-être as tu mal recopié l'énoncé et les inégalités sont au sens large?
Car si tu prends n=1 dans 1. ou dans 2. , chaque somme vaut 1/2, ce qui met en défaut l'inégalité stricte.

Oui donc chaque terme est compris entre 0 et 1 mais je ne vois pas où je peux aller avec..

[LB2]

L'encadrement entre 0 et 1 est trop grossier pour en tirer quelque chose.
A k fixé entre 1 et n, essaie d'encadrer le terme de rang k par des quantités qui ne dépendent que de n.
On parle d'encadrement uniforme en k.
Et ensuite, tu sommes ces encadrements (facile puisque tu sais sommer des constantes)

[lucie08]

L'encadrement entre 0 et 1 est trop grossier pour en tirer quelque chose.
A k fixé entre 1 et n, essaie d'encadrer le terme de rang k par des quantités qui ne dépendent que de n.
On parle d'encadrement uniforme en k.
Et ensuite, tu sommes ces encadrements (facile puisque tu sais sommer des constantes)

D'accord merci donc la j'ai :
1 < k < n
1 + n < n+k < 2n
Ce que j'ai sommé et je tombe donc sur :
[n(n+1)/2] + n < Somme n+k < n(n+1)
Je dois donc ensuite faire l'inverse ? Car Si c'est le cas j'ai donc :
[2/n(n+1)] + 1/n > Somme 1/n+k > 1/n(n+1)

Suis je sur la bonne voie ?

[fastandmaths]

Je crois que j 'ai compris ce qu'à écrit LB2

C'est simple en réalité: tu inverses cette inégalité puis en sommant tu te rendras compte que les deux sommes sont des constantes donc elles ne dépendent plus de k. Il suffit alors de multiplier par le nombre de terme

[lucie08]

Je crois que j 'ai compris ce qu'à écrit LB2

C'est simple en réalité: tu inverses cette inégalité puis en sommant tu te rendras compte que les deux sommes sont des constantes donc elles ne dépendent plus de k. Il suffit alors de multiplier par le nombre de terme

Merci Beaucoup

[fastandmaths]

.

[LB2]

Je crois que j 'ai compris ce qu'à écrit LB2

C'est simple en réalité: tu inverses cette inégalité puis en sommant tu te rendras compte que les deux sommes sont des constantes donc elles ne dépendent plus de k. Il suffit alors de multiplier par le nombre de terme

Tout à fait, et cela fonctionne de la même façon pour la somme 2