Prépa éco : variable aléatoire.

[kazamatsuri]

Bonsoir à tous,tout d'abord j'aimerai vous souhaiter à tous de très bonne fêtes. Je suis nouveau sur ce site, je vais donc me présenter, je suis en école préparatoire d'économie et je rencontre quelques problèmes au sujet d'un devoir maison de mathématiques.J'aimerais s'il est possible que vous me disiez ce qu'il ne va pas, sans me donner les réponses.

Voici le sujet :
Une urne contient initialement deux boules rouges et une boule bleue insdiscernables au toucher. On apelle " épreuve" la séquence suivante :
- Si la boule tirée est bleue, on la remet dans l'urne.
- Si la boule tirée est rouge, on ne la remet pas dans l'urne mais on remet une boule bleue dans l'urne à sa place.
L'expérience aléatoire consiste à effectuer une succession illimitée d'épreuves.
Pour tout entier naturel n non nul, on note Yn la variable aléatoire discrète égale au nombre de boules rouges présentes dans l'urne à l'issue de la n-ième épreuve.
On notera pour chaque entier naturel k non nul les événements suivants:
Rk:"Lors de la k-ième épreuve on a extrait une boule rouge de l'urne"
Bk:" Lors de la k-ième épreuve on a extrait une boule bleue de l'urne"
1) Donner la loi de probabilité de Y1
2) Quelles sont les valeurs possibles de Yn dans le cas où n est supérieur ou égal à 2?
3)Calculer pour tout entier naturel non nul n, P(Yn=2)
4)On pose pour tout entier naturel non nul n ,un=P(Yn=1)
a) Rappeler la valeur de u1 et montrer que u2= 2/3
b) En utilisant le système complet d'événement lié à la variable Yn, montrer que pour tout entier naturel n>2( n supérieur ou égal à 2), un+1=2/3un+2/3^n+1
Cette relation reste-t-elle valable lorsque n=1?
c) On pose pour tout entier naturel n non nul vn = un+2/3^n. Montrer que la suite (vn) nEN* est géométrique. En déduire vn en fonction de n et de v1. Etablir enfin que pour tout entier naturel non nul n , un = 2(2/3)^n -2/3^n.
d) Déduire des résultats précédents P(Yn=0) pour tout entier naturel non nul n.

Voilà, je vais maintenant vous montrez ce que j'ai fait.


1)C'est une loi binomiale de paramètre (n,p) car N est le nombre de succés au cour de 2 épreuves identiques et indépendantes, de plus la probabilité d'obtenir une boule rouge est 2/3, d'où ( n;2/3).
On a , yn= (k parmi n)*p^k*(1-p)^n-k. D'où y1 = ( 1 parmi n) * (2/3)^1*(1/3)^n-1

2)P(Yn>2)= somme de k=2 à n de P(Yn=k); d'où somme de k=2 à k=n *( 2 parmi n) * (2/3)^2*(1/3)^n-2

3) P(Yn=2) = ( 2 parmi n)*(2/3)^2*(1/3)^n-2

4)a)u2=2/3 * (1/3)^n-1; or si n=1, alors u2= 2/3*(1/3)^0=2/3
b) Cette question je vois pas comment faire, pouvez-vous m'aider?.

c) Ici je dois calculer le point fixe? je trouve l =6/ 3^n+1.
ensuite je sais que la formule c'est :
un-l= a^n(u0-l) ; mais ici on a pas u0 mais u1?

en vous remerciant par avance et vous souhaitant de très bonnes fêtes.

[Roman]

Bonjour,

Pour c), je sais pas trop ce que t'appelles "point fixe", mais pour démontrer qu'une suite un est géométrique, il faut montrer que cette suite vérifie la relation u(n+1)=q * u(n), avec un certain q a déterminer (la raison).

Ensuite, pour la formule du terme général d'une suite géométrique, il faut adapter la formule "du cours", avec u0, a ton cas qui commence a u1; il y aura un décalage d'indice: u1, u2=qu1, u3=qu2, u4=qu3... => un = ...

Roman

[kazamatsuri]

Tout d'abord merci de m'avoir répondu, avant toute chose, que pensez-vous de la partie avant celle sur la suite géométrique? Est-ce que ce que j'ai fait est juste?
en vous remerciant.