Prépa capes

par **lucie68** » 21 Fév 2009, 17:47

Bonjour à tous,

Je prépare le CAPES qui a lieu le 9 et 10 mars.

Je suis face à un problème et je voudrais savoir si quelqu'un pouvait m'aider:
comment démontrer que la dimension des sous-espaces caractéristique est égale à la multiplicité de la valeur propre ?

merci de votre aide,

luluce01@hotmail.com

par **jeje56** » 21 Fév 2009, 18:05

L'égalité est vraie uniquement ds le cas où la matrice est diagonalisable...

par **lucie68** » 21 Fév 2009, 18:09

merci pour ta réponse si rapide!

pour les sous-espaces propres, en effet, l'égalité est vraie lorsque la matrice est diagonalisable.
néanmoins, pour les sous-espace caractéristique, l'égalité est vraie tout le temps. je me demande justement comment le démontrer ...

par **Joker62** » 21 Fév 2009, 18:09

Ne pas confondre sous espaces propre et sous espace caractéristiques jeje :o

Pour lambda une valeur propre de multiplicité m
le sous espace caractéristique est : Ker( (u-lambda.id)^m )

par **lucie68** » 21 Fév 2009, 18:32

hummm je suis mal comprise :)

ca c'est la définition du sous espace caractéristique et dans mon cours, j'ai que sa dimension est égale à la multiplicité de la valeur propre mais j'ai pas la démonstration.
je voulais juste savoir si quelqu'un savait comment faire ?!
en tout cas merci :)

par **Joker62** » 21 Fév 2009, 18:40

Je reprenais juste Jeje t'en fais pas ;)

Pour la démo c'est moins trivial :^)

Pose E_i = ker((u-Lambda_i . id)^m_i) le sous espace caractéristique associé à la valeur propre lambda_i de multiplicité m_i

Ce sous-espace est stable par u (Lemme des Noyaux ???)
En prendre une base B_i
Noté B l'union des B_i
B est une base de l'espace E. (Car E est somme des directe des sous espaces caractéristique (Lemme des Noyaux encore))

Ecrire la matrice de u dans la base B
On obtient une matrice diagonale par bloc
Calculer son polynôme caractéristique

Remarquer que (T-Lambda_i.Id)^m_i est annulateur de u restreint à E_i
En déduire la forme du polynôme minimal de u restreint à E_i et donc du polynome caractéristique

Réecrire le tout
Mêler à ça l'unicité de décomposition en produit de facteur irréductible et retrouver le résultat.

Ca c'est la démarche de mon cours.
Si je trouve plus simpliste sur le net j'te tiens au courant ;)

par **jeje56** » 21 Fév 2009, 18:57

Joker62 a écrit:Ne pas confondre sous espaces propre et sous espace caractéristiques jeje

Exact Joker autant pr moi ^^

par **lucie68** » 21 Fév 2009, 18:59

merci beaucoup c'est vraiment sympa!
par contre en lisant rapidement, il y a quelques trucs qui me paraissent pas évident comme:
- comment déduire la forme du polynome caractéristique à l'aide du polynome minimale (vu qu'a priori on ne sait rien sur u enfin du moins pas s'il est diagonalisable ou pas ...)
- que vient faire l'unicité de la décomposition en produits de facteurs irréductibles (j'en ai juste entendu parlé dans les anneaux factoriels et je crois que c'est totalement hors contexte ici ...)

par **Joker62** » 21 Fév 2009, 19:21

Re ;)
Donc comme (T-Lambda_i.Id)^m_i est un polynôme annulateur de u restreint à E_i on sait que son polynôme minimal s'écrit (T-Lambda_i.Id)^s_i avec s_i <= m_i (Le polynôme minimal divise tout les polynôme annulateur)

On en déduit que le polynôme caractéristique de u restreint à E_i s'écrit (T-Lambda_i.Id)^d_i avec d_i >= s_i car le polynôme caractéristique et le polynôme minimal ont les mêmes facteurs irréductibles (d_i = Dim E_i)

On obtient deux décompositions en facteur irréductibles pour le polynôme caractéristique de u : 1 qui s'écrit avec les m_i l'autre avec les d_i
L'unicité d'une telle décomposition ( C'est l'équivalent de la décomposition en nombre premier ) donne l'égalité m_i = d_i = dim (E_i)

par **lucie68** » 21 Fév 2009, 20:26

OK, je vais y réfléchir !
Merci beaucoup !

par **Joker62** » 21 Fév 2009, 20:30

Pas de soucis ;) N'hésite pas si y'a un soucis j'essayerais d'écrire ça en Tex :)

par **lucie68** » 21 Fév 2009, 20:44

Re !
désolée j'ai encore un petit souci ..
quand on a notre matrice de u dans B, elle est diagonale par blocs, ça je suis d'accord, mais on connait pas les coefficients sur la diagonale, si ..?
parce que si on les connait pas, ben du coup on sait pas calculer le polynome caractéristique .. enfin du moins, moi je sais pas !
et dc du coup, je sais pas cmt conclure à la fin vu que je connais pas la deuxième forme du polynome caractéristique .. parce que si c'est (T-lambda i Id)^mi, je trouve que le raisonnement est un peu bizarre ..
on partirait de cette forme connue, pr en déduire celle du polynome miminal qui nous permet de déduire la forme du polynome caractéristique ..
Enfin je sais pas si t'as compris ce que j'essaye de dire :)
Bonne soirée !

par **Joker62** » 21 Fév 2009, 21:48

Vais essayer de tout bien faire alors :p

On a :

On a également le résultat

Ainsi en notant B_i une base de E_i on a

est une base de E

On obtient en écrivant la matrice M de u dans la base B que le polynôme caractéristique de u est :

Le polynôme

annule

Ainsi le polynôme minimal

Et donc le polynôme caractéristique associé à

s'écrit

On obtient au final :

Et par hypothèse

car le polynôme est scindé (C'est l'hypothèse du début ça je suppose ?)

On obtient deux décompositions en facteur irréductibles du polynôme caractéristique et par unicité m_i = d_i

d_i étant la dimension de E_i

par **lucie68** » 22 Fév 2009, 12:06

J'ai compris :)
Je te remercie d'avoir pris tout ce temps !
Bonne journée !

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