Prépa bio : Equation fonctionnelle

[kkk]

Bonjour,
Je suis en train de faire un exercice sur les équations différentielles pour m'entraîner mais c'est pas simple du tout..En fait il s'agit d'une équation fonctionnelle (jamais étudié en cours...)

En fait, on a (E) : f'(x) = (1/x)f(1-x) pour tout x appartenant à ]O;1[
On suppose que f est une solution de E.

Comment faire pour montrer que f est deux fois dérivable ? En fait j'ai solé f et je l'ai dérivé deux fois mais ça me prait trop simple... :marteau:

D'autre part, il faut montrer que f est solution de (E) xf''(x) + f'(x) + (1/(1-x))f(x) = 0
Là je suis bloquée à cause des fonctions...existe-til des "trucs" à savoir pour résoudre les équations fonctionnelles ? Avez-vous quelques pistes à me donner ?
Merci beaucoup,
louise

[Quidam]

f'(x) = (1/x)f(1-x)

Si f vérifie ça, f est une fois dérivable ! Ensuite f ' est le rapport de deux fonctions dérivables et celle qui se trouve au dénominateur ne s'annulle pas (sur l'intervalle donné). Donc f ' est dérivable. Et justement, la dérivée de f ' c'est f '' ! f est donc deux fois dérivable !

D'autre part, il faut montrer que f est solution de (E) xf''(x) + f'(x) + (1/(1-x))f(x) = 0

Ben puisque f ' est dérivable, dérive la ! Tu verras bien si par hasard tu n'obtiens pas une expression du genre "xf''(x) + f'(x) + (1/(1-x))f(x) = 0"

existe-til des "trucs" à savoir pour résoudre les équations fonctionnelles ?

Va savoir ! Moi, je n'en connais pas ! C'est toujours difficile ! Il faut chercher à déduire des propriétés de ce que l'on sait, mais ça, c'est toujours vrai, quel que soit le problème de maths que l'on aborde !
Je ne sais pas !
Peut-être quelqu'un d'autre ?

[tize]

Eventuellement ceci

[kkk]

merci à vous tous :we:
super le site :++:

[kkk]

bonjour !
j'ai effectué les calculs, tout va bien mais le problème est que je ne comprends pas en quoi effectuer de tels calculs et arriver à (E') prouve qu'effectivement f est solution de (E')...
merci de votre aide

[Quidam]

bonjour !
j'ai effectué les calculs, tout va bien mais le problème est que je ne comprends pas en quoi effectuer de tels calculs et arriver à (E') prouve qu'effectivement f est solution de (E')...
merci de votre aide

Moi, je ne comprends pas ce que tu ne comprends pas. Tu as fait une suite de calculs :
hypothèse : f vérifie E

et tu as dis :
donc...
donc...
donc...
et finalement
donc f vérifie E'

Cela prouve donc que f vérifie E' !

[kkk]

d'accord, très bien ! en fait ça coule de source et c 'est peut-être ça qui me gêne (pour moi les maths sont une langue étrangère donc quand c'est trop évident je trouve ça louche...)
merci ! :we: