Précisions sur une variable aléatoire suivant une loi

[kingsize]

Bonjour,

-quand on dit qu'une variable aléatoire réelle suit une loi discrète, cela veut-il dire que les valeurs prises par cette variable appartiennent à un ensemble au plus dénombrable ? Ou alors qu'il existe un ensemble dénombrable S tel que P(X n'appartenant pas à S) = 0 ? Par exemple si une variable X suit une loi de Bernoulli de paramètre p, X prend-elle forcément ses valeurs dans {0,1}, où a-t-on seulement P(X=1) = p et P(X=0) = 1-p ?

-d'autre part, pourquoi dans beaucoup de cours et d'énoncés de proba, on lit la phrase "soit X une variable aléatoire suivant une loi a" (avec a le nom d'une quelconque loi) sans préciser l'espace probabilisé (omega, tribu sur omega, probabilité sur omega) sur lequel est définie X. Ou alors est-ce sous-entendu que cette espace probabilisé est défini et que X est mesurable de (omega, tribu sur omega) vers (IR, boréliens de IR) ?

Merci.

[Sylviel]

la plupart du temps la va suivant une loi de bernouilli est définie comme une fonction à valeur dans un ensemble à deux éléments, bien sûr ce n'est pas toujours le cas dans le sens où il se peut que tu te donne une va réelle et que tu montres qu'elle de bernouilli (bien que je subodore un léger abus de langage dans ce cas)

Comme très souvent en maths pour gagner en temps et en concision on se débarasse de précisions somme toute peu utile, attention il faut toutefois être capable de les donner si on se penche dessus. C'est pour cela qu'on oublie souvent de préciser les ensembles et tribus... Tout comme on oublie souvent de spécifier de quelle topologie on parle, ou de quelle distance on parle lorsque c'est "évident".

[kingsize]

la plupart du temps la va suivant une loi de bernouilli est définie comme une fonction à valeur dans un ensemble à deux éléments, bien sûr ce n'est pas toujours le cas dans le sens où il se peut que tu te donne une va réelle et que tu montres qu'elle de bernouilli (bien que je subodore un léger abus de langage dans ce cas)
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Justement, si on doit montrer qu'une va réelle (donc une application mesurable) suit une loi de Bernoulli, on doit montrer qu'elle ne peut prendre au plus que deux valeurs, ou alors qu'il existe deux réels a et b tels que P(X=a) = p et P(X=b) = 1-p, ce qui est totalement différent ?

[Sylviel]

ce qui est totalement différent

faut pas exagérer tout de même... Je penche pour la deuxième solution et c'est dans ce cas un abus de langage. Mais en proba les évènements de probabilité nulle interfèrent rarement, et on passe facilement d'un évènement à sa classe d'équivalence (deux ensembles sont équivalent pour cette relation si leur différence est de mesure nulle).

[Ben314]

Salut, je pencherais aussi (comme sylviel) trés fortement pour la seconde solution.

Et, en ce qui concerne "l'abus de langage", on peut, (comme dans la théorie des espaces Lp avec un L droit) considérer qu'une v.a.r. n'est pas une fonction mais une classe de fonction modulo la relation d'équivalence (sur les fonctions ayant le même espace de départ) X R X' lorsque p(X=X') = 1, c'est à dire lorsque X et X' sont égales presque surement.

Si tu n'as pas vu le concept de classes de fonctions, tu peut te contenter de voir celà comme un "abus de langage"...

En ce qui concerne le fait que, dans les exos de proba, on ne donne en général pas l'espace Omega, je considère personellement que le fait de trouver un espace Omega (il y en a évidement plusieurs...) vérifiant les hypothèses du problème fait parti de l'exercice.
C'est d'ailleurs assez souvent une des parties difficile de l'exercice...