Pourquoi ma matrice est "fausse" ?. Merci

[forumeur]

Bonjour, dans le cadre d'un exercice, j'ai essayé de "simplifié" une matrice . De mon côté, je ne vois pas où j'ai faux mais j'ai bel et bien faux car je ne trouve jamais le même polynôme caractéristique. Merci.

Voilà ce que j'ai fait:



Pourriez vous m'indiquez à quelle étape j'ai faux.

Je vous remercie d'avance pour votre aide.

[leon1789]

quel est le lien mathématique entre tes matrices : même déterminant ? même rang ? même polynôme caractéristique ?
Justifie-le.

[forumeur]

quel est le lien mathématique entre tes matrices : même déterminant ? même rang ? même polynôme caractéristique ?
Justifie-le.

et bien c'est normalement censé rester la même matrice puisque je prend celle de départ, et après des modifications pour permettre des facilités de calcul, je retombe sur celle présente à la fin.

Ma matrice de départ et celle obtenue à la fin après simplifications, ont le même rang (rang 3) mais des déterminants et polynôme caractéristique différent.

Ce qui me pose problème, c'est que je ne comprend pas pourquoi je n'ai pas le même polynôme caractéristique au départ et à la fin.

[leon1789]

et bien c'est normalement censé rester la même matrice puisque je prend celle de départ, et après des modifications pour permettre des facilités de calcul, je retombe sur celle présente à la fin.

Déjà, ce que tu dis "rester la même matrice" est très mal à propos : tu vois bien que les trois matrices que tu as calculées sont différentes, elles ne sont pas les mêmes.

j'ai essayé de "simplifié" une matrice .

C'est très mal dit : tu ne "simplifies" pas la matrice. Tu fais subir des transformations qui conservent des quantités (rang et déterminant par exemple).

Ma matrice de départ et celle obtenue à la fin après simplifications, ont le même rang (rang 3) mais des déterminants et polynôme caractéristique différent.

Elles ont même rang en effet. Mais elles ont aussi le même déterminant, car les opérations que tu as effectuées sur les lignes conservent rang et déterminant.

Et comme tu l'as dit, elles n'ont pas le même poly. caract.

Ce qui me pose problème, c'est que je ne comprend pas pourquoi je n'ai pas le même polynôme caractéristique au départ et à la fin.

Pourquoi voudrais-tu qu'elles aient le même poly. caract. ?
Le poly. caract. est un déterminant, oui, mais de quelle matrice ?

[forumeur]

Déjà, ce que tu dis est grossièrement mal dit "rester la même matrice" : tu vois bien que les trois matrices que tu as calculées sont différentes, ne sont pas égales.


Elles ont même rang en effet. Mais elles ont aussi le même déterminant : les opérations que tu as effectuées sur les lignes conservent rang et déterminant.

Et comme tu l'as dit, elles n'ont pas le même poly. caract.

Tous s'explique en fait, car je pensais que l'on pouvait "simplifier " une matrice de la sorte et qu'elle restera donc égale, chose qui est donc complètement fausse si je veux ensuite calculer un polynôme caractéristique.

Pourquoi voudrais-tu qu'elles aient le même poly. caract. ?
Le poly. caract. est un déterminant, oui, mais de quelle matrice ?

Je pensais qu'elle pouvait garder le même polynôme caractéristique vue que la formule pour trouver le polynome est:

Concernant la seconde question, je ne sais pas cela convient pour qu'elle matrice.

[leon1789]

oui, alors il faut calculer le déterminant de , et non celui de M :lol3:

Un conseil : prend l'habitude d'écrire le lien mathématique entre les matrices que tu calcules. Elles ne sont pas égales (quoi que tu penses faire après), mais elles ont même rang, ou même déterminant, donc écris rang(...) = rang(...) = rang(...)
ou det(...) = det(...) = det(...)
Ces quelques lettres qui ne te coûteront rien, te permettront de ne pas perdre l'objectif de ton calcul...

[forumeur]

oui, alors il faut calculer le déterminant de , et non celui de M :lol3:

Un conseil : prend l'habitude d'écrire le lien mathématique entre les matrices que tu calcules. Elles ne sont pas égales (quoi que tu penses faire après), mais elles ont même rang, ou même déterminant, donc écris rang(...) = rang(...) = rang(...)
ou det(...) = det(...) = det(...)
Ces quelques lettres qui ne te coûteront rien, te permettront de ne pas perdre l'objectif de ton calcul...

J'avais bien calculer le déterminant de car je l'avais fais sur ce site ici
Je prend note du conseil, merci.

Donc pour calculer le polynôme caractéristique de ma matrice, je dois le faire avec la méthode traditionnelle utilisant des calculs lourds sans chercher à simplifier quoi que ce soit ?

[leon1789]

oui, pour calculer le poly. caract. de M, il faut calculer le déterminant de (et non celui de M :lol3:) ce qui engendre souvent des calculs lourds... sauf si l'exemple est bien choisi et la méthode de calcul est bien menée.

[forumeur]

oui, pour calculer le poly. caract. de M, il faut calculer le déterminant de (et non celui de M :lol3:) ce qui engendre souvent des calculs lourds... sauf si l'exemple est bien choisi et la méthode de calcul est bien menée.

Je prend note de toutes vos remarques qui me sont utiles.

Je vous remercie beaucoup pour votre aide et vous explications, qui m'ont permis de mieux comprendre.

Bonne soirée à vous.

[chan79]

Je prend note de toutes vos remarques qui me sont utiles.

Je vous remercie beaucoup pour votre aide et vous explications, qui m'ont permis de mieux comprendre.

Bonne soirée à vous.

En triangularisant la matrice, on retrouve les valeurs propres en diagonale
0 -5 0 0
0 0 0 0
0 0 1 1
0 0 0 1

matrice de passage
3 9 3 4
-4 -2 -1 1
-3 1 1 1
2 1 0 0
je ne sais pas si tu as étudié ça

[forumeur]

En triangularisant la matrice, on retrouve les valeurs propres en diagonale
0 -5 0 0
0 0 0 0
0 0 1 1
0 0 0 1

matrice de passage
3 9 3 4
-4 -2 -1 1
-3 1 1 1
2 1 0 0
je ne sais pas si tu as étudié ça

Salut chan79, merci également de ta réponse.
Cet exercice s'inscrit dans le cours de trigonalisation. Enfin, j'ai eu la mauvaise approche de l'exercice.

[paquito]

Pour résumer tous les bons conseils que tu as eus, tu ne doit pas confondre opérations autorisées pour le calcul d'un déterminant et détermination d'une matrice semblable. Bonne continuation!