DM pour lundi prépa fonctions

[nathalie65]

Bonjour à tous les correcteurs, je suis très embétée pou résoudre ce DM et votre aide me serait vitale! Je n’arrive absolument pas à résoudre cet exercice à rendre pour lundi alors merci vraiment beaucoup à l’avance pour votre aide!

Voici l’exercice :
On définit le sinus et le cosinus hyperbolique par sinh(x) = (e^x-e^(-x))/2 et cosh(x) =(e^x+e^(-x))/2

1 a) Montrer que sinh est impaire et que cosh est paire.
b) Montrer que cosh²(x)- sinh² (x)=1
c) Vérifier que cosh (a+b) = cosh(a).cosh(b) – sinh(a).sinh(b).
d) Trouver une formule analogue pour sinh(a+b).

2 a) Montrer que sinh est continue et dérivable sur R et donner sa dérivée en fonction de cosh.
b) Donner le tableau de variation de sinh et en déduire qu’elle réalise une bijection de R sur R.
C° Soit a un réel quelconque, montrer que l’équation X²-2aX-1 = 0 d’inconnue X admet une seule solution strictement positive.
d) En déduire que pour tout réel x, réciproque de sinh(x) = ln(x+racine(1+x^2)) .
e) Montrer que réciproque de sinh est continue et dérivable sur R et donner sa dérivée.
f) Représenter sinh et sa réciproque dans un même repère orthonormé.

3 a) Etudier rapidement cosh et la représenter dans le même repère que sinh.
b) Donner Im (cosh).
c) Cosh est-elle injective?
d) Montrer dans le cas général que toute fonction paire définie sur un intervalle I non réduit à {0} n’est pas injective.
e) Donner un exemple d’application impaire qui ne soit pas injective et un exemple d’application impaire injective.

4) On appelle f la restriction de cosh à R+.
a) Montrer que f réalise une bijection de R+ sur un intervalle I que l’on déterminera.
b) Expliquer pourquoi sa réciproque n’est pas dérivable en 1.
c) Expliciter réciproque de f puis calculer sa dérivée.
d) Soit deux réels a et b tels que 1 < a < b. Montrer que réciproque de f([a;b])=[réciproque de f(a);réciproque de f(b)]
e) Expliciter réciproque de cosh ([a;b)] à l’aide de réciproque def(a) et de réciproque de f(b).

[Anonyme]

si tu es en maths sup jvoulais juste dire que c'est exactement les ds que j'ai eu en premier ds d math een mpsi en debut d'année donc si tu y arrive pas du tout pose toi des questions sin,on c'est simple c'est comme avec cos et sin voila salut

[Galt]

Bonjour
Je voudrais faire une remarque : il n'y a pas de correcteurs ici.
La philosophie de ce forum, c'est que chacun donne et prend : on pose des questions que l'on ne sait pas traiter, et on répend aux questions des autres. En aucun cas quelqu'un ne fera ton DM. Si tu pouvais dire à quel endroit tu es bloqué (e), peut-être que quel'qu'un pourrait t'aider. Et si tu vois un post où tu sais répondre, peut-être que ...
A bientôt

[MooMooBloo]

On va pas faaire le DM à ta place! Quelles sont les questions qui te posent problèmes? Le début est très abordable par exemple...
Bon courage en tout cas.