Pour les fans du dénombrement...!!!!

[Anonyme]

Salut à tous
je mets à votre disposition 3exercices de dénombrement qui m'ont intrigué ya pas mal de temps.Seriez vous gentils de m'accorder votre attention et m'aider à les meiux comprendre?
1er: E etant un ensemble fini de cardinal n>0, dénombrer les lois de composition interne sur E. PArmi celles-ci,combien sont commutatives?

2emme:Quel est le plus grand terme du developpement de (3+4)^2005 par la formule du binome de Newton?(on pensera à faire le quotien de deux termes consécutifs)
moi je vois pas l'interet de faire le quotient de deux termes consécutifs??

3eme: on considere dans le plan n points distincts deux à deux, non alignés trois à trois, tels que les droites qu'ils determinent ne soient jamais parrallèles.
Montrer que le nombre de points(autres que ceux de départ§) en lesquelles elles se recoupent est C(2,N)-nC(2,n-1) tel que N est le nombre de doites passant par les n points.

MERCI POUR VOTRE AIDE

[yos]

1) Chacun des n² produits ab peut prendre n valeurs, donc il y a n^(n²) lois internes.
Si la loi est commutative, les n produits a² peuvent prendre n valeurs et les
n(n-1)/2 produits ab(=ba) avec b distinct de a peuvent aussi prendre n valeurs. D'où n^(n(n+1)/2) lois commutatives.

2) Uk+1/Uk=(6015-3k)(4k+4) que tu compare à 1 . Cela te donne le sens de variation de la suite (Uk) et donc son terme le plus grand. Je trouve que c'est celui d'indice 858, mais il faudrait vérifier.

3)On peut faire mieux : il y a C(4,n) paquets de 4 points. Chacun de ces paquets détermine 6 droites, et six points d'intersection, dont 4 sont des points de départ, donc seulement 2 nouveaux points. D'où 2C(4,n) nouveaux points d'intersection.
On peut le retrouver avec ta formule en calculant N en fonction de n . D'ailleurs la définition de ton N est peu claire.

[Anonyme]

merci bien
pour la derniere question N est le nobre de droites passant par n points donc N est égal à C(2,n) car une droite est determinée par deux points.
mais je ne comprends pas toujours la dernirere question .
pouvez vous me clarifier un peu sur ce point??

[yos]

3)La méthode que tu suggéres :
Il y a N droites et deux quelconques de ces droites se coupent en un point. On compte les paires de droites :C(2,N) . Mais cela ne donne pas le nombre de points d'intersection car beaucoup de ces paires se coupent en les points de départ. Ce sont ces dernières paires qu'il faut retirer à C(2,N) pour obtenir le nombre de nouveaux points d'intersection. Par un des points de départ A, il passe n-1 droites, ce qui fait que C(2, n-1) paires de droites parmi les C(2,N) paires, redonnent le point A. De même pour les autres points de départs. Il y a donc nC(2,n-1) paires de droites à retirer du total C(2,N) pour obtenir le nombre de paires de droites qui fournissent un points d'intersection nouveau.

Remarquons que le raisonnement est incomplet: Le nombre de points d'intersection obtenu est en fait un maximum, et il se peut que certains soient confondus.

Si tu réduis l'expression tu aboutis à celle que j'ai donné par l'autre méthode. (qui dit que chaque ensemble de 4 points fournit 2 nouveaux points).

L'exercice 2) est intéressant et je poserais la question différemment : quel est le + grand coefficient du polynôme (3x+4)^2005?
C'est bien la même chose.

Enfin l'exercice 1 est assez facile et je suggère les variantes suivantes : Combien y-a-t-il de relations d'ordre sur un ensemble de n éléments. Même chose avec "relation d'équivalence".
Essayer avec n<6.