Positivité des matrices de corrélation

[Anonyme]

Bonjour...bonsoir,

J'ai un petit cas de conscience théorique.

Je m'explique je dois simuler une loi multinormale N(m,S),
où m est un vecteur de moyenne et S la matrice de variance-covariance.
J'utilise pour cela la décomposition de Cholesky S=L'*L avec L une
matrice triangulaire supérieure. De cette façon en prenant un vecteur V
suivant un loi normale en N(0,1), j'obtiens ainsi un vecteur X=m+L*V qui
suit bien une loi normale en N(m,S).

Mais le problème est que cette décomposition n'est valable que pour
des matrices symétriques définies positives...
Or ma matrice de variance-covariance n'est pas forcément définie. Pour
s'en asssurer il suffit par exemple de considérer la variance d'une
variable aléatoire constante (donc égale à sa moyenne) ce qui entraine
une variance nulle, et par suite toutes les covariances relatives à
cette variable le sont aussi. Il en découle alors que la colonne
correspondant dans la matrice est égale au vecteur nul... donc pas
définie.
( au passage je suis tombé sur pas mal d'url où les personnes qui
utilisaient cette méthode postulaient que la matrice de variance-
covariance était toujours définie positive, ce qui n'est visiblement pas
le cas )

Bon d'un point de vue pratique je m'en sort en utilisant la
décomposition de Cholesky "incomplète" qui me donne bien une matrice
triangulaire, mais je perd l'unicité.
C'est là que mon problème se pose, cette décomposition s'applique
uniquement au matrice symétrique positive.
Je sens bien que la matrice de variance-covariance est positive, mais
je n'arrive pas à le démontrer.
Est ce que quelqu'un aurait une piste ?
J'ai bien essayé de prouver que quelque soit la matrice de corrélation
S, pour tous x, x'Sx >= 0 mais s'en résultat. et je ne vois pas comment
trouver que les valeurs propres sont positives, voir les mineurs
principaux...

Alors en clair j'aurais deux questions~:

1 - ma simulation de loi multinormale est-elle encore valable ? Meme si
la matrice n'est pas définie, et par suite la matrice L non unique.

2 - Comment prouver que la matrice de variance-covariance est toujours
positive ?

Si vous avez une piste, voire mieux une solution, je suis preneur !

--
Julien