Porblème proba et variables

[bart22]

Bonjour,

Je dois résoudre un problème en plusieurs partie mais je bloque déjà sur la première partie, une aide serait la bienvenue.

On fait des cyces de cultures de bactéries dont certaines sont de type A et les autres de type B.
Lors de la culture, la proportion de bactéries de type A est invariante dans le temps. Voici le protocole étudié:
-Cycle 0: On dispose au départ de N bactéries dont k0 sont d'un type A avec k0 cmpris entre 0 et N. On laisse pousser la culture pour avoir un nombre de bactéries très grand devant N. On pose p= (k0)/N et
q= 1-p.
-Cycle 1: On prélève N bactéries avec avec lesquelles on fait une nouvelle culture.
-Cycles 2,3, etc... On répète l'opération précédente.

On désigne par Xk le nombre de bactéries du type A dans l'échantillon de taille N prélevé au début du cycle k. Ainsi X0 est constante et égale à k0.

On étudie les variables Xk. On utilise la convention : combinaison (N i) =0 si i > N ou i < 0.
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N est un entier naturel supérieur ou égal à 3 et k0 vérifie: 1<k0<N-1. On pose un= P(Xn=0) + P(Xn=N) et vn=1 -un.

1.Montrer que :

P(Xn+1 = i) = Somme de k=0 à N de [P(Xn=k)* combinaison (N i)* (k/N)^i * (1- k/N)^N-i ]

2.Monter que E(Xn+1)=E(Xn)

3. Après avoir montré que E(Xn+1(N-Xn+1)) = N-1/N * E(Xn(N-Xn)) l'exprimer en fonction de n, N et k0.

Une aide serait la bienvenue parce que je ne vois pas comment démarrer la démonstration.