Polynomiales linéairement independants

[jaccuzzi]

Bonjour,

Voila, j'ai une question peut être triviale (desole dans ce cas) concernant des polynomes multivariés.
Je m'explique. Soit P=(p1,...,pm) une famille de polynomes de Zp[X1,...,Xm] ou p est un entier premier. On suppose en plus que ces polynomes sont de degré 1 et sont linéairement indépendants.

Soit d un entier positif. Je voudrais montrer (car je pense que c'est vrai...peut-être :lol3: ) que les polynomes qui s'écrivent comme le produit de d polynomes de P sont linéairement indépendants! Concrètement, je voudrais montrer que les polynomes p1^d, p1^(d-1)p2,p1^(d-1)p3,...,p1p2...pd,...,pm^d sont linéairement indépendants. Y aurait-il un matheux pour m'aider?
Merci a vous

Jaccuzzi

[Doraki]

je suis presque sûr que c'est vrai mais pour avoir une vraie preuve euh je saurais pas trop quoi dire de simple.

[jaccuzzi]

je suis presque sûr que c'est vrai mais pour avoir une vraie preuve euh je saurais pas trop quoi dire de simple.

Merci...au moins ca me conforte dans ma certitude :we:

[Doraki]

Bon en fait si :

T'as une application linéaire K^m -> K^m (donnée par (x1...xm) -> (P1(x1...xm),...,Pm(x1...xm)))
inversible, donc il existe m polynômes de degré 1 Q1 ... Qm tels que Pi(Q1(x1...xm)...Qm(x1...xm)) = xi et inversement en échangeant le rôle de P et Q.

Si tu regardes les applications ~P de K[Xi] dans lui même qui à f associe (x1..xm) -> f(P1(x1...xm),...,Pm(x1...xm)) (c'est-à-dire la composition par les Pi quoi), et ~Q définie pareil mais avec les Qi, on a bien sûr ~P ° ~Q = ~Q ° ~P = l'identité de K[Xi]. Et donc ~P et ~Q sont des automorphismes de K[Xi]

De plus si tu regardes le sous-espace vectoriel Kd[Xi] des polynômes homogènes de degré d, cet espace est stable par ~P et ~Q, donc leurs restrictions à Kd[Xi] sont des automorphismes de Kd[Xi].
Comme tu as une base évidente (X1^d, X1^(d-1)X2 , ...), son image par ~P (à savoir P1^d, P1^(d-1)P2,...) est donc encore une base, et en particulier cette famille est libre.

---

Aussi j'ai pas regardé le cas où les Pi n'étaient pas homogènes genre P1(X,Y) = X et P2(X,Y) = X+1. ?_?

[jaccuzzi]

Bon en fait si :

T'as une application linéaire K^m -> K^m (donnée par (x1...xm) -> (P1(x1...xm),...,Pm(x1...xm)))
inversible, donc il existe m polynômes de degré 1 Q1 ... Qm tels que Pi(Q1(x1...xm)...Qm(x1...xm)) = xi et inversement en échangeant le rôle de P et Q.

Si tu regardes les applications ~P de K[Xi] dans lui même qui à f associe (x1..xm) -> f(P1(x1...xm),...,Pm(x1...xm)) (c'est-à-dire la composition par les Pi quoi), et ~Q définie pareil mais avec les Qi, on a bien sûr ~P ° ~Q = ~Q ° ~P = l'identité de K[Xi]. Et donc ~P et ~Q sont des automorphismes de K[Xi]

De plus si tu regardes le sous-espace vectoriel Kd[Xi] des polynômes homogènes de degré d, cet espace est stable par ~P et ~Q, donc leurs restrictions à Kd[Xi] sont des automorphismes de Kd[Xi].
Comme tu as une base évidente (X1^d, X1^(d-1)X2 , ...), son image par ~P (à savoir P1^d, P1^(d-1)P2,...) est donc encore une base, et en particulier cette famille est libre.

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Aussi j'ai pas regardé le cas où les Pi n'étaient pas homogènes genre P1(X,Y) = X et P2(X,Y) = X+1. ?_?

trop fort...j'ai pas encore tout compris mais merci beaucoup!
ps : les polynomes pi sont homogenes de degre 1...i.e. des combinaisons lineaires des variables X1,...,Xm!
tout ca c'est pour un article de cryptographie...s'il est accepté je te remercierai officiellement...

[zygomatique]

salut

qu'est-ce qu'un polynome de degré 1 de Zp [x1, x2, ..., xp] ?