Polynômes

par **stan75** » 31 Mai 2009, 15:22

bonjour je rencontre des difficultés pour un exercice pourriez-vous m'aider s'il vous plait on a
pn=(1/2i)((X+i)^(2n+1)-(X-i)^(2n+1)) avec pn qui appartient à C[X]
il faut montrer que pn appartient aussi à R[X]
pour cela j'ai posé pour tout X appartenant à K on a A=X+i et A barre=X-i
et donc l'écriture du polynôme devient Pn=im((A)^(2n+1)) mais ceci ne prouve pas que Pn appartient à R[X] car ça ne prouve que le fait que c'est un polynôme à valeurs dans R mais pas à coefficient dans R et ensuite il faut trouver son coefficient dominant et son degré donc j'imagine qu'il faut passer par une forme factorisée mais je en la trouve pas
merci d'avance pour votre aide :happy2:

par **Matt_01** » 31 Mai 2009, 15:28

Bonjour,

Comme tu l'as souligné,

Si tu as

cela signifie que

(On peut se restreindre à l'étude sur

du polynôme, et alors

)
Par identification ...

Pour le degré et le coeff dominant, utilise le binôme de Newton

par **stan75** » 31 Mai 2009, 15:29

a oui en faite c'est faux c'est pas forcément Abarre=x-i

par **stan75** » 31 Mai 2009, 15:32

a d'accord mais si je prend X=3-4i par exemble X+i=3-3i et X-i=3-5i ne sont pas conjugués?

par **Matt_01** » 31 Mai 2009, 15:48

Oui, et c'est bien pour cela qu'on se restreint à

.
En gros, en n'utilisant que des valeurs réelles, on peut déduire que les coefficients sont nécessairement réels, et donc le polynôme est à coefficients dans R.
(C'est vrai, j'aurais dû précisé que le

s'appliquait uniquement sur R plus tôt.)
(Tu aurais pû passer par le binôme de Newton pour répondre à cette question aussi

)

par **stan75** » 31 Mai 2009, 15:53

a d'accord j'avais mal compris et donc je n'ai pn qui appartient à R[X] uniquement si je prend X dans R
merci beaucoup

par **Matt_01** » 31 Mai 2009, 16:05

Non non, pour tout X !
En étudiant sur R uniquement, on trouve que les coefficients sont réels.
Après le polynôme étant le même quelque soit l'ensemble, les coefficients restent les mêmes et sont donc réels quelque soit l'indéterminée X.

Si tu ne comprends pas, c'est comme si je te disais que tu as

et

. Tu en déduis que

.
Mais cette égalité n'est pas valable que pour

, et donc tu en déduis que

pour tout

.

Ici, c'est comme si on prenait comme "valeur" particulière l'ensemble R, qu'on en déduit des propriétés pour P qui sont vraies pour toutes les valeurs (ici pour tout ensemble de définition).

par **stan75** » 01 Juin 2009, 13:43

merci beaucoup ;) pour le polynome je sais que le degré est au plus 2n+1 mais apreès pour le trouver avec le binôme je ne vois pas trop comment faire aurait-on pu montrer par récurrence que P appartient à R[X]?
après on nous demande de résoudre Pn(X)=0 j'ai trouvé (X+i/X-i)=e((2ikpi/2n+1)) avec k=0...2n en passant par les racines nièmes de l'unité mais ensuite on me demande de montrer que ces racines sont deux à deux opposées j'ai essayé de le montrer par récurrence mais ça ne marche pas auriez-vous s'il vous plait une idée? :happy2: merci d'avance pour voter aide

par **stan75** » 01 Juin 2009, 13:55

a oui en faite on trouve que el degré est 2n et que le terme de plus haut degré est 2n+1 mais comment fait-on?

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