Polynomes

[ericsteph]

salut, j'aimerais bien avoir une petite aide pour poursuivre un petit probleme, de polynome

il est demandé, de dire si l'endomorphisme de Rn[X]: P(X) ---> P(X-1) est diagonalisable!!!

bon , comme je connais la diagonalisation que sur le point de vue matriciel la je bloque un peu,

je me suis dit on ecrit P(X-1)= lambda (X-1) avec X different de 1
mais je vois pas trop comment continuer

a moins que on peut ecrire une matrice relativement a cet endomorphisme?! :mur:

merci

[Purrace]

Tu peut remarquer que ton endomorphisme est bijective.
Tu peut ecrire sa matrice dans la base canonique de Rn[x] en utilisant la formule de taylor pour les coefficients.
Ou remarqué que les valeurs propres sont immédiates puisque tu remarquera que ta matrice est triangulaire supérieur et les Vp sont les coefficient dominant des images donné par ton endo des elements de ta base.

[ericsteph]

merci pour la reponse, mais pendant le developpemen de taylor on trouve des formule du genre (X-1)^i :mur: :mur: ca m'aide pas pour ecrire la matrice selon la base canonique :mur:

[ThSQ]

Y'a pas un milliard de valeurs propres comme l'a dit Purrace ....

[Purrace]

Pour tout polynome P , la fomrulde taylor te donne P(X-1)=sum(i=1..n=deg(P),(P(derivé i-ieme)(-1)/i!)*X^i)

[ericsteph]

bon merci pour vos reponses, mais excusez moi, si vous voyez une valeur propre evidente, moi je la vois pas :cry: :cry:


et bon pour la matrice je vois en gros que sur la diagonale, les elements ne se ressemblent pas, donc les valeurs propres seront distinctes, donc la matrice diagonalisable, ca devrait suffir, non?!

[Purrace]

T'es sur!.............

[ericsteph]

bein j'ai aps encore fait les calculs :cry: mais a premiere vue on voit que la matrice est traingulaire sup, avec sur la diagonale, P derv i (-1)/ i! a la ieme coordonnée, donc il suffit que P derivé i (-1)/ i ! pour les differentes valeurs soit differentes pour avoir des valeurs propres distinctes :mur:

[Purrace]

Quel est le coefficient dominant de (X-1)^k?

[ericsteph]

Bonjour, je ne comprends pas vraiment :mur: :mur:

pour avoir les coefficients de la matrice, on calcule
f(X^i)= P(X-1) je suis un peu confus là :mur:

[Purrace]

Tu calcule l'image donné des elements de la base canonique de Rn[x] soit (1,...,X^n) , et ces images sont ((X-1)^0,X-1,....,(X-1)^n) tu remarque que ta matrice est triangulaire supérieur, et que le valaures propres sont les coefficients dominant qui sont tous.... (je te laisse completer)

[ericsteph]

:mur: attends un peu stp,
pour moi, f(X^i)= a + b X + c X² + d X^3 +... + z X^n

apres a, b, c, ..., z c'est les coefficients de la i eme colonne,


a moins qu'ils faut ocnsiderer la matrice obtenue dans une base autre que la base canonique??????????????? (1, X-1, (X-1)², ...) :mur: :mur:

[Purrace]

f(X^i)=(X-1)^i=X^i+..................+1.
Ta matrice est ecrite dans la base canonique , tu en deduit que est triangulaire superieur et que 1 est vp d'ordre n+1.

[ericsteph]

qu'est-ce que tu as fait pour developper (X-1)^i?!
la formule du binome?! :briques:

[Purrace]

Effectivement , c'est la remarque que j'essaye de te faire depuis le début , pour cet endo les valeurs propres sont immédiates , il suffit comme tu la dit d'appliquer la formule du binome.

[ericsteph]

oui, c'etais vraiment evident :cry:

maintenant pour finir le probleme, la diagonalisation!!!!!!!

bon dim ker(M - I) =n+1?! je pense pas qu'on puisse avancer de cette maniere?! ou bien c'est la seule maniere?!


merci encore pour toute ton aide

[Purrace]

Oui tu peut en effet ragarder la dimension de Ker (M-I), mais bon vu que t'aura un diagonale de 0 et qu'elle est triangulaire superieur , je pense que la dimension est de 1.