Polynomes

[celian]

Bonsoir à tous , j'ai l'exercice suivant :

On considère le polynome P(X) = x^4 - 4x³ + 5x² - 2x - 2 .

a) P est il irréductible dans C[X] ? dans R[X] ?

Le polynome est de degré 4 , et nous savons que seuls les polynomes du 1er degré sont irréductibles dans C[X] , donc le polynome n'est pas irréductible dans C[X] .
Nous savons aussi que seuls polynomes du 1er degré et du second degré sont irréductibles dans R[X] si ils n'ont pas de racine réelle , donc le polynome n'est pas irréductible dans R[X] .

b)Montrer que 1 + i est racine de P .

P(1+i) = -4 - 4(2i-2) + 10i - 2 - 2i - 2 = 0 , donc (1+i) est bien racine de P .

c)En déduire la décomposition en facteurs irréductibles de P dans R[X] ? dans C[X] ?

Auriez vous une idée pour R[X] svp ?

merci

[alben]

Bonjour,
Les coefficients de ton polynome sont réels, ce qui implique que le conjugué de 1+i est aussi racine...

[celian]

merci mais il y a des petites choses que je comprends mal :

j'ai montré que 1+i était une racine , mais c'est une racine complexe , je cherche avant tout les racines réelles , comment les déduire de cette racine complexe ?

"Les coefficients de ton polynome sont réels, ce qui implique que le conjugué de 1+i est aussi racine"

je cherche dans mon cours ce qui ressemble à ce que tu dis mais je ne trouve pas , peux tu me dire de quel théorème il s'agit ?

merci

[alben]

Je ne sais pas de quel théorème il s'agit mais c'est assez clair :
Ton polynome de degré 4 se décompose en deux polynomes P1 et P2 de degré 2 à coefficients réels. 1+i est solution dans C de l'un des deux, disons P1. L'autre racine complexe de P1 est nécessairement conjuguée puisque la somme et le produit des racines doivent être réels

[celian]

" Je ne sais pas de quel théorème il s'agit mais c'est assez clair :
Ton polynome de degré 4 se décompose en deux polynomes P1 et P2 de degré 2 à coefficients réels. 1+i est solution dans C de l'un des deux, disons P1. L'autre racine complexe de P1 est nécessairement conjuguée puisque la somme et le produit des racines doivent être réels"

Donc si 1-i et 1+i sont les racines dans R[X] , mon polynome doit pouvoir s'écrire :

(X-1-i)² (X-1+i)² , et je l'ai développé ça ne me donne pas le polynome de départ ...

Ensuite oui je peux le décomposer en 2 polynomes P1 et P2 de degré 2 , mais pourquoi en P de degré 1 et P' de degré 3 ?

[Imod]

Tu n'as pas bien compris qui est à coefficient réels car de la forme .

Imod

[celian]

ok imod j'ai développé ton expression , ça donne x² - 2x + 2 , si je l'élève au carré ça ne donne pas le polynome de départ...et comme P1 = P2...

[Imod]

Il n'y a pas de raison que mais est de degré 2 et tu dois pouvoir trouver aisément ses coefficients en écrivant que .

Imod

[celian]

Oui , alors par identification je trouve celà :

(x²+2x+2)(x² - 5x + 13) , c'est la décomposition en facteurs irréductibles de P dans r[x] .

Mais pour que j'évite de reposer la question faut que ça soit clean niveau rédaction , donc je dois bien dire : P^4 est de degré 4 à coefficients réels , donc il se décompose en 2 polynomes P1 et P2 de degré 2 , mais quelqu'un peut me répondre à ça svp : pourquoi pas 2 polynomes de degré 1 et 3 ?

Ensuite , je dois bien dire que comme 1+i est une racine complexe , le polynome (X-a)(X-b) , b étant le conjugé de a , est le 1er facteur irréductible et ensuite on procède par identification , n'est ce pas ?

merci bien .

[Imod]

Attention donc ton est faux .

Imod

[Imod]

Pour le conjugué , si tu notes le polynôme déduit de en prenant le conjugué de chaque coefficient alors donc si alors et quand est à coefficient réel .

Imod

[celian]

ah zut !!! , alors après recalcul je trouve :

(x²-2x+2)(x²-2x-1) , là je crois que c'est bon , j'en suis sur meme !

Mais pour que j'évite de reposer la question faut que ça soit clean niveau rédaction , donc je dois bien dire : P^4 est de degré 4 à coefficients réels , donc il se décompose en 2 polynomes P1 et P2 de degré 2 , mais quelqu'un peut me répondre à ça svp : pourquoi pas 2 polynomes de degré 1 et 3 ?

Ensuite , je dois bien dire que comme 1+i est une racine complexe , le polynome (X-a)(X-b) , b étant le conjugé de a , est le 1er facteur irréductible et ensuite on procède par identification , n'est ce pas ?

merci bien .

[celian]

mais pour 2 polynomes de degré 2 et par 2 de degré 1 et 3 ?

[celian]

mais pourquoi 2 polynomes de degré 2 et par 2 de degré 1 et 3 ?

[celian]

je peux encore réduire l'écriture j'ai remarqué , le second polynome est factorisable :

(x²-2x+2)(x-1)(x-1) , ça fait un pôlynome de degré 2 et 2 de degré 1..., donc en fait ya pas de loi générale , un polynome de degré 4 ne se décompose pas forcément en 2 polynome de degré 2 ?

[Imod]

mais pourquoi 2 polynomes de degré 2 et par 2 de degré 1 et 3 ?

Un polynôme de degré 3 n'est pas irreductible sur de plus tu as deux racines et conjuguées donc est un facteur de à coefficient réels . D'autre part , attention n'est pas irréductible sur .

Imod

[celian]

oui oui j'avais bien remarqué , relis mon message au dessus ;-) .

Maintenant si je cherchais à décomposer mon polynome en facteurs irréductibles dans c[x] , je pense que je peux utiliser le théorème d'alembert : Tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1 à coefficients dans le corps C des nombres complexes a au moins une racine dans C .

donc ici on sait que 1+i est une racine .

1ere question : comme ici mon polynome est de degré 4 , il a au plus 4 racines , est ce que pour les trouver , vu qu'on est dans C , je peux prendre les racine n-ième de 1+i ?

[alben]

donc en fait ya pas de loi générale , un polynome de degré 4 ne se décompose pas forcément en 2 polynome de degré 2 ?

Si
En revanche, la décomposion n'est pas forcément unique et les polynomes ne sont pas obligatoirement irréductibles dans R[X].
Pour la suite, tu as déjà deux racines, il te suffit de trouver les racines du deuxièmes polynome : attention, ta décomposition du second polynome en (x-1)² est fausse

[celian]

normal j'avais pris un mauvais polynome , quelle étourderie , alors la décomposition totale dans r[x] c'est :

(x²-2x+2)(x-1+V2)(x-1-V2) .

Maintenant si je cherchais à décomposer mon polynome en facteurs irréductibles dans c[x] , je pense que je peux utiliser le théorème d'alembert : Tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1 à coefficients dans le corps C des nombres complexes a au moins une racine dans C .

donc ici on sait que 1+i est une racine .

1ere question : comme ici mon polynome est de degré 4 , il a au plus 4 racines , est ce que pour les trouver , vu qu'on est dans C , je peux prendre les racine n-ième de 1+i ?

c'est gentil de répondre je vous remercie bcp alben mais si vous répondez pouvez vous répondre à ma question précise car j'ai du mal à saisir vos réponses très généralistes , merci à vous .