Polynômes

[Ssbb]

Bonsoir, j’ai une question concernant les polynômes, je suis en plein milieu d’un exercice et je bloque à un niveau :
Le but de l’exercice est de trouver la forme dès polynôme P dans R[X] scindé de deg sup ou égal à 2 à racines a1<…<an tels que P’((ai+ai+1)/2)=0 . (*)

On veut prouver que ce sont que les polynômes de degré 2 qui vérifie (*)
Soit P=a(x-a1)…(x-an) un polynôme de deg sup ou égal à 3 avec a1<…<an et a diff de 0.

On écrit P=(x-a1)(x-a2)Q avec Q=a(x-a3)…(x-an).

On dérive P et on trouve que Q’((a1+a2)/2)=0 ce qui est impossible car :

- si deg(Q)=1, Q’ est une constante non nulle

- j’ai pas compris pourquoi si deg(Q) sup ou égale à 2 alors Q’ s’annule au moins une fois sur chaque intervalle ]ai;ai+1[ ?

[Ssbb]

J’ai oublié de dire pour ]ai;ai+1[ avec i allant de 2 à n-1

J’ai vu qu’il fallait appliquer le théorème de Rolle mais le problème c’est que Q(a3)=Q(a4)=…=Q(an) mais sur l’intervalle ]a2;a3[ nous avons pas Q(a2)=Q(a3) donc on ne peut l’appliquer sur cet intervalle

[Ben314]

Salut,
Non, on peut pas, mais comme on en a pas besoin, c'est pas genant...
Q il est de degre n-2 et il a n-2 racines a3<a4<...<an
Sa derivee Q' est de degre n-3 et le theoreme de Rolles dit qu'elle s'anule au moins une fois sur ]a3,a4[ ainsi que sur ]a4,a5[, . . . ainsi que sur -]a(n-1),an[. Sauf que ca fait deja n-3 racines donc, vu le degre de Q', il n'y en a pas d'autre et (a1+a2)/2 n'est pas racine (trop petit pour etre dans le premier intervalle ]a3,a4[)

[Ssbb]

Salut,
Non, on peut pas, mais comme on en a pas besoin, c'est pas genant...
Q il est de degre n-2 et il a n-2 racines a3<a4<...<an
Sa derivee Q' est de degre n-3 et le theoreme de Rolles dit qu'elle s'anule au moins une fois sur ]a3,a4[ ainsi que sur ]a4,a5[, . . . ainsi que sur -]a(n-1),an[. Sauf que ca fait deja n-3 racines donc, vu le degre de Q', il n'y en a pas d'autre et (a1+a2)/2 n'est pas racine (trop petit pour etre dans le premier intervalle ]a3,a4[)

Ah oui, il y’a une erreur dans le bouquin Il était indiqué que le polynôme Q’ s’annulait sur les ]ai,ai+1[ a partir de i=2 or c’est faux c’est à partir de i=3.

Merci !