Polynomes

[c1m2l3e]

J'ai obtenu cette équation:


Du coup les parties entre crochets seraient et ?

[Pseuda]

Oui ça serait cela, mais je n'ai pas vérifié si l'expression des crochets est bonne. Je vais le faire.

[Pseuda]

Cela me paraît bon ! Tu peux remplacer P1(x) et Q1(x) par leurs valeurs, puisqu'on les connait.

[c1m2l3e]

D'accord merci et pour trouver une relation entre P_n+1, P_n, Q_n+1 et Q_n, comment peut-on éliminer les P' et Q'?

[Ben314]

Je ne pense pas qu'il soit demandé "d'éliminer" les P'_n et les Q'_n.
A mon avis, tout ce qu'on te demande, c'est ce que tu as déjà dit au dessus : P_{n+1} et Q_{n+1} c'est les truc dans les deux crochets.

[c1m2l3e]

d'accord merci beaucoup
Il y a une dernière question que j'ai oublié d'écrire dans le premier message:

Montrer que f et f' admettent des développements limités à tout ordre en 0. Conclure qu'il existe des réels a_0, a_1, ..., a_n tels que:
en 0

Le développement limité à tout ordre de f, c'est déjà fait il me semble, donc pour f' il faut faire la même chose avec l'expression sous forme de somme peut-être?
Ensuite pour l'équation je n'ai pas trop d'idée

[Pseuda]

Oui c'est ça, pour il faut faire la même chose que pour , en partant de l'expression algébrique de .

Tu obtiens ainsi le DL(0) à l'ordre de la fonction (à partir de la question précédente).

Il suffit ensuite de le diviser par pour obtenir l'expression demandée.

[c1m2l3e]

Est-ce que c'est ça le développement limité?
?

[Ben314]

Si c'était ça, le serait idiot vu que ça vaudrait -1 quelque soit la valeur (entière) de k.
Sauf que c'est pas mais qui lui alterne entre +1 et -1.

[c1m2l3e]

Ah oui pardon mais je ne comprends pas comment on peut passer de f et f' à f^(n+1)(x)

[Ben314]

Le "lien" qu'il y a entre d'un coté et et de l'autre, c'est bien évidement le résultat que tu as obtenu à la question g).
(et @Pseuda te l'a déjà dit 3 posts plus haut...)

[c1m2l3e]

Oui oui mais ce que je veux dire c'est qu'il faut remplacer les Pn et Qn aussi non? Pour avoir juste des a_0, a_1, ..., a_n

[Ben314]

Oui oui mais ce que je veux dire c'est qu'il faut remplacer les Pn et Qn aussi non? Pour avoir juste des a_0, a_1, ..., a_n

Non. C'est là qu'il faut bien apprendre à lire un énoncé : ce qu'on te demande, c'est de prouver que le D.L. de truc bidule existe et qu'il existe des coeff. a0,a1,... tels que blablabla.
Mais si tu regarde bien la question, il n'est nulle part demandé de donner le D.L. en question, ni de donner des expressions des coeffs. a0,a1,... (et comme c'est la dernière question, ça veut dire que tu aura pas besoin de formules explicites pour le D.L. ou pour les coeffs. dans les questions suivantes)

Bref, c'est l'archétype de la question où ce qu'on attend, c'est sans doute pas des calculs, mais uniquement un Laïus expliquant pourquoi le D.L. existe et pourquoi les coeffs. a0,a1,... existent.
Et en particulier, concernant Pn et Qn, il est plus que probable que la seule chose dont tu va avoir besoin, c'est qu'ils existent (et que ce sont des polynômes bien sur).

[c1m2l3e]

D'accord merci
J'aurais juste une dernière petite question à vous poser.
Si on veut calculer une valeur numérique de f(1) par exemple, est-ce qu'il faut mettre la calculatrice en degré ou en radian pour avoir une valeur approchée?

[Ben314]

En math., sauf mention explicite du contraire, toute les fonction trigo. sont à comprendre en radian .
En particulier tout les D.L. que tu as utilisé dans l'exo. sont correct uniquement si la variable est en radian.
De même, la dérivée de x->sin(x) c'est x->cos(x) uniquement si x correspond à une valeur en radian (tu n'a qu'à te rappeler comment on démontre graphiquement ce résultat pour comprendre pourquoi ce n'est valable qu'en radians)

[c1m2l3e]

D'accord,
Je vous remercie tous pour votre aide