Polynômes

[Dacu]

Bonjour à tous,

Un problème d'un autre forum:

Trouver tous les polynômes pour laquelle .

Cordialement,

Dacu

[aviateur]

Bonjour,
Il y a comme solution. Soit P une solution de degré n avec
Sans restreindre la généralité on peut supposer que le coefficient de est positif.
Il est facile de voir que 0 est racine de P et que, d'autre part, si est une racine réelle de p alors est encore racine de P.
Pour tout donc il existe (dès que k est assez grand) tel que
Par contre vu le degré de deg(P), on peut toujours trouver aussi grand que l'on veut tel que
et tel que on a avec
On a alors et et
Avec ce qui a déjà été dit on construit ainsi une infinité de racines pour P.
Finalement . c.q.f.d

[Lostounet]

Bonjour Aviateur,

Excuse-moi mais je n'ai pas compris ce passage:

Pour tout donc il existe (dès que k est assez grand) tel que
c.q.f.d

Si quelqu'un pouvait me donner une explication svp.

Je ne sais pas si on peut s'en sortir par un développement en série entière au voisinage de (???).

[pascal16]

si je ne ma trompe pas, avec la méthode des "zéros en kpi", on arrive au fait qu'il faut une somme de nonômes du type :

[aviateur]

Bonjour Lostounet
J'ai dit avant qu'il est facile de voir que P(0)=0. Je l'utilise donc.
J'ai supposé que le coefficient de est>0 (sinon remplacer P par -P.)
Il est clair que pour A assez grand P est strictement croissante sur l'intervalle [A,+\infty[ et est >0.
Pour tout k tel que puisque que l'on a est de la forme avec puisque

Ce je veux dire par là, c'est qu'à partir d'un entier naturel k_0, pour tout k\geq k_0 correspond un entier k'
tel que Je note La suite d'entier est strictement croissante mais
de plus (car j'ai supposé ) . L'idée étant (pour finir la démo) de prendre un entier qui n'est pas de la forme

J'espère que c'est un peu plus clair.

[Lostounet]

Merci Aviateur, j'ai mieux compris !

Par contre le dernier passage:

L'idée étant (pour finir la démo) de prendre un entier qui n'est pas de la forme

J'espère que c'est un peu plus clair.

N'importe quel entier qui n'est pas de la forme Uk convient? Il existe forcément car..? ?
Désolé si c'est évident..

[aviateur]

Bonjour @lostounet
En fait c'est facile de trouver que les polynômes sol de deg<=1.
Donc j'ai supposé que le degré est au moins 2.
Donc entre k\pi et (k+1)\pi (l'écart est exactement une fois \pi) mais l'écarte entre les images seront bien supérieures
à \pi ( à partir d'un certain rang pour k) . Autrement on peut trouver k_1 assez grand l'équation
P(k\pi)=k_1\pi n'a pas de solution.