Polynomes

[lunadragonland]

bonjour à tous

dans les équivalences suivantes:
(i) pour tout x dans R, P(x)>=0
(ii) toute racine réelle est d'ordre pair
(iii) il existe A,B dans R[X] tel que P=A²+B²
(iv) il existe c dans C[X] tel que P=Cbarre*C
avec P dans R[X] non nul unitaire

j'ai montré (i) équivaut à (iii) mais je n'arrive pas à faire les autre.

Pourriez vous m'aider?
Merci d'avance

[yos]

Pour montrer (i) équivaut à (iii) tu dois pourtant passer par (ii).
Les propositions m'ont l'air bien ordonnées en sorte qu'il faut prouver
.
Par exemple (iii) entraîne .

[serge75]

elles sont partiellement fausses tes équivalences :
P=-(X-1)² : toutes les racines sont paires, mais P est négatif.
Il faut que tu rajoutes à ta condition (ii) quelque chose du type P(0)>=0 par exemple.
De là (i) entraîne (ii) est trivial (par contraposée si une racine impaire, alors changement de signe)
(ii) implique (iii) est le point délicat, et j'ai la flemme d'y réfléchir en cette heure tardive, surtout avant de partir demain en vacances)
(iii) implique (iv) t'a été donné au dessus par yos.
(iv) implique (i) me semble trivial.
Voili voilà.

[lunadragonland]

merci bien
pour montrer (iii) j'ai fait une récurrence et ça marche bien ce qui est plutot une bonne nouvelle

A bientôt

[yos]

elles sont partiellement fausses tes équivalences :
P=-(X-1)² : toutes les racines sont paires, mais P est négatif.

Il est dit : P unitaire.

[yos]

merci bien
pour montrer (iii) j'ai fait une récurrence et ça marche bien ce qui est plutot une bonne nouvelle

A bientôt

Récurrence? Sur le degré du polynôme?? Ca me parait peu adapté.
L'idée est que .
Le premier produit est un carré de polynôme Q(X)². Le second est un produit de polynôme du second degré à discriminant négatif : un tel polynôme est somme de deux carrés (la forme canonique du lycée). Il faut alors remarquer qu'un produit de sommes de deux carrés est une somme de deux carrés (la formule du produit de modules de complexes).