Polynômes

[lefandepblv]

Soient A et B deux polynômes à coef complexes, tel sque A(z) et B(z) de même module pour tout z.
Montrer qu'il existe u de module 1 tel que A(X)=u*B(X)

Cet exercice me pose problème et j'ai beaucoup de mal à démarrer après avoir traduit l'énoncé ... pouvez-vous avec moi un début de raisonnement pour me débloquer après pas mal de moments de blocage
Merci du déclic

[leon1789]

Que penses-tu de la fraction rationnelle A(X)/B(X) et de ses évaluations A(z)/B(z) ?

[Nightmare]

Hello,

A et B ont les même racines : si z est du racine de A (resp. B) alors |B(z)|=|A(z)|=0 donc B(z)=0 (resp. A(z)=0)

La conclusion est alors quasi-immédiate.

[Doraki]

La conclusion est alors quasi-immédiate.

seulement si t'as préalablement montré que les racines de A sont racines de B avec la même multiplicité et inversement.

[Nightmare]

Tout à fait, mais ce n'est pas très compliqué en montrant qu'ils sont de même degré.

[Nightmare]

Tout à fait, mais c'est assez rapide en appliquant le même raisonnement à P/(z-a) et Q/(z-a) sauf erreur.

[leon1789]

C'est assez simple et sans astuce :
on travaille sur C et les évaluations de la fraction A(X) / B(X) sont de module 1,
donc la fraction A/B n'a pas de pôle (continuité), donc c'est un polyn.
Et A/B n'a pas de zéro (continuité), donc ce polyn. est constant.