Polynomes

par **cendrillon** » 30 Déc 2010, 17:55

Bonjour,
auriez vous l'amabilité de m'aider à résoudre (ce que je recherche surtout c'est le raisonnement pour accéder à la résolution) cet exercice :
"Trouver le polynome P tel que :
P(X-1)-P(X)=-15X²+15X+2
P(-1)=-1 "
Merci pour vos réponses.

(Et bonnes fêtes de fin d'année :lol3: )

par **Nightmare** » 30 Déc 2010, 18:22

Salut,

déjà, quel peut être le degré de P?

par **cendrillon** » 30 Déc 2010, 18:24

je pense que c'est 2 ...

par **Nightmare** » 30 Déc 2010, 18:25

Non, P ne peut être de degré 2. Pourquoi penses-tu qu'il pourrait l'être?

par **cendrillon** » 30 Déc 2010, 18:27

parce que on a -15x²+15x+2 qui est de degré 2

par **Nightmare** » 30 Déc 2010, 18:29

Et alors? En quoi cela impliquerait-il que P devrait être de degré 2 ? Le membre de gauche on en fait quoi?

Réfléchissons, quel est le degré de P(X-1)-P(X) par rapport au degré de P?

par **cendrillon** » 30 Déc 2010, 18:30

le degré serait donc supérieur ou égal à 2 ? c'est ça ?

par **Nightmare** » 30 Déc 2010, 18:31

Oui, mais il ne peut pas être égal à n'importe quoi ! Tu n'as pas répondu à ma question qui permet de trouver exactement de quel degré doit être P :

Si P est de degré disons n , quel est le degré de P(X-1)-P(X) ? (Au pire remplace P par des polynômes quelconque pour te faire une idée)

par **cendrillon** » 30 Déc 2010, 18:35

si P est de degré n alors P(x-1)-P(x) est de degré inférieur ou égal à n

par **Nightmare** » 30 Déc 2010, 18:41

Plus exactement?

par **cendrillon** » 30 Déc 2010, 18:43

le degré de p(x-1)-p(x) est n-1

par **Samir Raouafi** » 30 Déc 2010, 18:45

Bonjour,

P(X) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0
P(-1) = -1 et P(X-1)-P(X)=-15X²+15X+2 implique que a0 = -3.
P(X-1)-P(X)=-3 a3X2 + (3 a3 - 2 a2)X (a1 + a3)
=-15X²+15X+2.
Par égalité des coefficients tu trouveras,
P(X) = 5X3 - 7X 3.

bonnes fêtes de fin d'année.

par **Nightmare** » 30 Déc 2010, 18:49

cendrillon a écrit:le degré de p(x-1)-p(x) est n-1

C'est correct !

par **cendrillon** » 30 Déc 2010, 18:55

@ Samir
je ne comprends pas ton raisonnement ... pourrais tu me l'expliquer ? merci

par **cendrillon** » 30 Déc 2010, 19:08

@ nightmare
je vois pas comment je peux trouver la réponse une fois la dimension trouvée

par **Nightmare** » 30 Déc 2010, 19:10

Le degré, pas la dimension !

Bon, d'après ce que tu as trouvé, on a donc forcément que P doit être de degré 3. On pose donc P(x)=ax^3+bx^2+cx+d comme l'a fait Samir, puis on calcule en fonction de a, b,c et d P(x-1)-P(x) et on identifie a,b,c et d pour que ce soit égal à -15x²+15x+2

par **cendrillon** » 30 Déc 2010, 20:57

@ nightmare
désolée oui c'est le degré que je voulais dire =/
merci pr ton explication, je comprends mieux

@ idéaliste
merci pour les formules de Newton, je ne les connaisais pas

par **sad13** » 30 Déc 2010, 21:05

Par la formule de Newton,

Laquelle , celle du binôme de Newton? Si c'est elle, je ne vois pas comment elle interviendrait , en vs remerciant

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