Polynomes

[T-T]

bonjour ,

Soit P R[X] deg P n+1 avec n N*

a est une racine d'ordre n de P
b est une racine simple de P

Mq P^(n) admet une racine sur ]a,b[


Mq par récurrence l'assertion suivant : P(k) : P^(k) avec 1 k n

k=1 ok en effet P(a)= P(b)= 0
est C° sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ donc il existe c ]a,b[ tq ( )'(c)=P'(c)=0

de meme pour k=2

Soit n N*
On suppose P(k) vrai pour k [1,n]

On a P^(n)(a)=0 et P^(n)(xn)=0 donc d'apres Rolle il existe x(n+1) ]a,b[ tq (P^(n))'(x(n+1))=0
d'ou P^(n+1)=0

récurrence concluante

ma récurrence est elle correcte? est ce qu'il existe des solutions plus élégantes
merci !

[T-T]

UP s'il vous plait :=)

[barbu23]

salut
de avec
a est une racine d'ordre n de P
b est une racine simple de P
Donc
non ? :hein:

[T-T]

c'est quoi Pn ??? et oui je suis d'accord

[barbu23]

c'est ! c'est pour dire que depend de et varie dans ! n'est ce pas ? c'est aussi pour pouvoir lui appliquer une recurrence ! non ? :happy3:
Maintenant, il te faudra trouver l'expression de .

[barbu23]

tu derives deux ou trois fois, et tu essayes de deduire comment s'ecrit generalement. :happy3:

[T-T]

ok ouais je vois comment trouver l'expression , mais sa signifie que ma récurrence est fausse? Parce que en fait j'ai eu cette exercice en colle que je n'ai pas eu le temps de terminer et j'avais commencé a faire une récurrence comme ci dessus ( sans la fin) et le colleur m'a dit que c'était un bon départ .

[T-T]

sinon je trouve que Pn^(n)=n(n-1).....(n-k+1)(x-a)^(n-k)

[alavacommejetepousse]

Mq par récurrence l'assertion suivant : P(k) : P^(k) avec 1 k n

!

bonsoir je ne peux pas savoir si ta récurrence est correcte car je n'ai pas compris ce qu'était la proposition P(k)

[T-T]

ah oui j'ai fais une erreur

P(k): P^(k) 0 =< k =

[alavacommejetepousse]

ben non tu dois montrer
P(k) pour k dans {1,...n} tu ne peux donc pas la supposer pour tout k dans {1,...,n} et la montrer pour n+1 sinon c'est une récurrence sur n ce qui n'est pas du tout pareil


supppose donc P(k) et montre P(k+1)

[T-T]

ok donc je suppose P(k) et en utilisant l'hypothèse de récurrence et celles de l'exo je montre facilement en dérivant que p(K+1) est vraie .


merci !