Polynômes symétriques

[Elias]

Bonjour à tous. J'ai deux questions à propos des polynômes symétriques
Question 1.

Sur ce livre http://exvacuo.free.fr/div/Sciences/Cou ... icence.pdf (solution 3.8), il est écrit que les polynômes symétriques élémentaires sont les polynômes symétriques dont le degré partiel en chacune des variables est 1. Mais pour moi c'est faux. Par exemple, dans Z[X,Y], le polynôme P(X,Y)=X+Y+XY est symétrique de degré 1 par rapport à X et Y mais n'est pas un polynôme symétrique élémentaire. S'agit-il bien d'une erreur d'énoncé ou ai-je mal compris quelque chose ?

Question 2.
Sur ce même livre (solution 3.10), il est écrit que, dans l'anneau (avec ) (les sommes portent sur les indices distincts de) :


Je ne comprends pas d'où provient de 4. Je suis d'accord avec le premier terme de la somme et je suis d'accord avec le fait qu'on aura des qui se multiplient entre eux mais moi, à la place du 4, j'aurai mis un car quand on développe tout ça, pour chaque fixé dans va se multiplier avec tous les (donc ça, c'est la première partie du membre de droite qui le gère) et puis il va rester des où (j,k,l) sont à prendre dans . Il en restera autant que de triplés dans un ensemble à (n-1) éléments. Comme on va répéter ça pour chaque i de {1,...,n}, on doit multiplier par n.

Merci bien.

[Robot]

Pour le 1) tu as raison (les auteurs auraient dû parler de polynôme symétrique homogène pour dire quelque chose de correct) et pour le 2) tu as tort (il y a bien 4 façons d'obtenir le produit de 4 variables comme produit d'un paquet de 3 et d'une variable toute seule).

[zygomatique]

salut

le polynôme P(X,Y)=X+Y+XY est symétrique de degré 1 par rapport à X et Y mais n'est pas un polynôme symétrique élémentaire

que voulez-vous dire par "élémentaire" ?

[Elias]

Ah d'accord. Il semblerait que j'ai un peu tout mélangé. En fait, on sait qu'on aura plein de X_i X_j X_k X_l avec i,j,kl tous distincts. Mais si je prends un X_i X_j X_k X_l, il est apparu de pleins de façons différentes. Soit il était déjà en X_j X_k X_l et donc le X_i est venu se multiplier. Ou alors il était en X_i X_k X_l et donc c'était le X_j qui est venu se multiplier. Ou alors il était en X_i X_j X_l et c'était le k qui est venu se multiplier etc... Donc ça fait bien 4. Merci !

@zygomatique

Dans (A est un anneau), les polynômes symétriques élémentaires sont par définitions les n polynômes notées définies par :

[Ben314]

que voulez-vous dire par "élémentaire" ?

Et si tu es un peu Bourbakiste, tu peut aussi ne pas te faire chier en disant que la définition, c'est (égalité formelle bien sûr)

[zygomatique]

ha oui pardon ... tout simplement les polynômes symétriques élémentaires ... comme ceux des racines d'un polynome !!!!

merci