Polynômes, suites et dominance

[matthieu45]

Bonjour, je coince sur cet exercice.
On me demande de trouver un polynome P de degré inférieur ou égal à 3 tel que, lorsque n tend vers + infini, on ait :

[[1+(1/sqrt(n))]^2]/[[1+(1/n)]^2]=P(1/sqrt(n))+O(1/n^2)

O indiquant la dominance.

J'ai essayé de poser un polynôme, P(X)=a0+a1.X+a2.X^2+a3.X^3 mais ça ne marche pas. J'ai pensé aux dérivés, mais là non plus. Que faire ?

Merci d'avance de votre aide.

[xon]

As tu essayé de faire un DL de ton membre de gauche en 1/sqrt(n) ?

[tize]

pour
pour DL0 :
Y a plus qu'a multiplier...
Sauf erreur de ma part

[matthieu45]

Merci beaucoup, j'ai donc trouvé ce polynome P.
On me demande ensuite, de trouver la limite quand n tend vers +infini, et un équivalent de la forme a.e^(n^b) de un=[[1+(1/sqrt(n))]/[1+(1/n)]]^n

Je voudrais juste savoir s'il y avait un rapport avec la première question et si oui lequel. Merci de votre aide.

[tize]

Tu peux faire sans la première question, en prenant l'exponentielle du log de Un et un équivalent en 0 de x->ln(1+x)

[matthieu45]

c'est ce que j'ai essayé de faire, en transformant un peu la fonction je me retrouve en appellant un=e^(vn)
avec vn=n.ln(1+(n-sqrt(n))/(n+1))
mais apres je ne peux pas passer aux équivalents puisque (n-sqrt(n))/(n+1) ne tend pas vers 0 ???

[tize]

donc: