Polynômes et racines multiples

par **Flodelarab** » 08 Sep 2006, 10:54

nox a écrit:x^3 ---> tangente horizontale en 0 mais change de signe au voisinage de 0 non ?

t'as raison, c pas bon

par **Flodelarab** » 08 Sep 2006, 11:05

P(x) doit se trouver une racine entre 2 racines de P'(x) ( ou entre une racine et l'infini) puisqu'il est scindé.
Si la racine est double, triple ..... d'ordre n, il doit toujours se trouver une racine entre x0 et x0 donc x0 est racine de P(x)

en fait c tout bete :we:

par **alben** » 08 Sep 2006, 11:13

Bonjour,

Je ne pense qu'on puisse s'en sortir en comptant les racines.
Certaines racines de P peuvent être multiples ...

par **tize** » 08 Sep 2006, 11:26

Je crois avoir trouvé une démo, dites moi ce que vous en pensez (il y a surement plus court...)
Tout d'abord si P est scindé dans

alors il existe

racines de multiplicités respectives

.
D'après le théorème de Rolle pour tout

il existe

tel que

ce qui nous fait déjà

racines distinctes pour P'.
Il faut remarquer aussi que pour

alors

est racine de P' de multiplicité

(et aussi racine de P !), cela fait donc

racines de P' plus les

autres racines distinctes cela fait en tout

et c'est le maximum pour P'. Cela implique que les

racines distinctes sont nécessairement de multiplicité 1 (sinon il y en a trop) et les autres de multiplicité

sont aussi, comme on l'a montré, racine de P. CQFD

par **tize** » 08 Sep 2006, 11:37

J'ai modifié mon dernier message, il y avait des petites erreurs de nombre... alors qu'en pensez-vous ?

par **alben** » 08 Sep 2006, 11:42

alben a écrit:Bonjour,
Je ne pense qu'on puisse s'en sortir en comptant les racines.
Certaines racines de P peuvent être multiples ...

J'aurais mieux fait de me taire :we:
:++: tize mais c'est sûr qu'il doit exister une methode moins numérique :doute:

par **jose_latino** » 08 Sep 2006, 11:48

jose_latino a écrit:Un polynôme scindé est lequel peux s'exprimer comme produit de facteur de premier degré.
Si est une racine multiple de , alors . Mais si alors
, il faut faire la comparison , tout est prête.

Bon, je continuerai;
On va supposer que

, alors l'expression de la dérivé est valable pour tout

On a

alors

. On n'a pas profité l'exponent 2 qui apparait en

.

En remplaçant:

Analyse

Tu trouveras ici une contradiction. :++: À bientôt!

par **jose_latino** » 08 Sep 2006, 12:09

À mon avis, le résultat est vrai pour les polynômes complexes (sans la condition de scindage, car tout polynôme complexe, qui n'est pas constant, est scindable) aussi, mais
à partir de

il faut trouver une contradiction. Dans le cas réel c'est facil.

par **alben** » 08 Sep 2006, 12:11

jose_latino a écrit:
Tu trouveras ici une contradiction. :++: À bientôt!

Je ne vois pas la contradiction, on peut bien avoir :

par **jose_latino** » 08 Sep 2006, 12:15

Tu as raison alben, je n'avais pas lit le message 15 :marteau: (je parle du cas complexe)
Pour le cas réel, c'est facil car

, n'oublie pas que

par **tize** » 08 Sep 2006, 12:30

Le cas complexe est faux, on en a déjà parlé... Pour le cas réel, je suis comme Alben, je n'arrive pas à voir la contradiction.
J'ai l'impression qu'on peut avoir : avoir :

par **tize** » 08 Sep 2006, 12:32

Je retire ce que j'ai dit :marteau:
Bien vu Jose_latino
les

sont tous >0 donc :

et c'est absurde
Merci Jose_latino

par **Flodelarab** » 08 Sep 2006, 12:44

tize a écrit:D'après le théorème de Rolle

Tu fais la meme erreur que moi!

tu peux avoir une racine double sans avoir de changement de sens de variation!
Pas de changement de sens de variation, pas de théorème de Rolle
:triste:

par **Flodelarab** » 08 Sep 2006, 12:45

tize a écrit:Je retire ce que j'ai dit :marteau:
Bien vu Jose_latino
les sont tous >0 donc : et c'est absurde
Merci Jose_latino

Pkoi c absurde ?

par **alben** » 08 Sep 2006, 12:52

tize a écrit:Bien vu Jose_latino
les sont tous >0 donc : et c'est absurde
Merci Jose_latino

Mais oui mais c'est bien sûr :id:

Flodelarab a écrit:Tu fais la meme erreur que moi!

Non, il ne l'applique qu'entre les zéros du polynome dont le nombre est inférieur ou égale au degré.
Pourquoi absurde : une somme de nombres strictement positifs ne peut être nulle

par **Flodelarab** » 08 Sep 2006, 13:30

tize a écrit:Il faut remarquer aussi que pour alors est racine de P' de multiplicité (et aussi racine de P !)

Je sais pas pkoi tu continues ... tu as considéré le pb résolu ....

par **tize** » 08 Sep 2006, 14:25

Flodelarab a écrit:Je sais pas pkoi tu continues ... tu as considéré le pb résolu ....

Fais attention a ce que tu dis Flordelarab

est la multiplicité de P et non pas de P'...je ne considère donc pas de pb résolu et il est bien connu que si

est une racine d'ordre m alors

et a est une racine d'ordre m-1 pour P'. Ca n'a rien a voir avec ce que tu dis

par **Flodelarab** » 08 Sep 2006, 15:08

tize a écrit:Fais attention a ce que tu dis Flordelarab est la multiplicité de P et non pas de P'...je ne considère donc pas de pb résolu et il est bien connu que si est une racine d'ordre m alors et a est une racine d'ordre m-1 pour P'. Ca n'a rien a voir avec ce que tu dis

oui mais c pas

qui est égal a 2 dans l'hypothèse mais

Si tu me dis que c pire car 3>2, dans ce cas la tu est carrément en train de dire que pour tout polynome ça marche, tu ne t'es pas servi du fait que P soit scindé

C ça ma question !
Quand te sers tu du fait que P soit scindé ?
(au début ? nonnnn. tous les polynomes peuvent avoir k racines chacune d'ordre différent ...)

par **alben** » 08 Sep 2006, 15:15

Flodelarab a écrit:o
C ça ma question !
Quand te sers tu du fait que P soit scindé ?
(au début ? nonnnn. tous les polynomes peuvent avoir k racines chacune d'ordre différent ...)

Non, à la fin quand il écrit que la somme des multiplicités des racines de P moins 1 correspond à un nombre maxi de racine pour P'

par **Flodelarab** » 08 Sep 2006, 15:36

tu plaisantes ?

je vois rien de particulier a dire que le maximum de la somme des ordres des racines d'un polynome de degré n-1 est n-1 .....

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