Polynomes Pcsi

[Sanderson996]

Bonjour je suis coincé avec un exercice sur les polynomes donc je vous serai bien reconnaissant si vous pouviez me filer un petit coup de main :) :

Le voici:

soit P un polynome non constant de K[X] de degre n>0. On suppose P' divise P
1) Mq il existe un scalaire a tq nP=(X-a)P´
2) Mq pour tout k€[l0;n-1l] : P(k)(a)=0 (derivee k-ieme en a de P =0)
3) Conclure

Mes travaux:
1) jai raisonne par absurde si nP different de (X-a)P´ alors on peut ecrire;
nP=(X-a)P' + R avec R polynome quelconque.
Alors ceci implique que pour tout a dans lK, (X-a) ne divise pas nP cad ne divise pas P (pas sur ??)
Ce qui est en contradiction avec le theoreme de D'alembert Gauss( tout polynome possede une racine dans K donc il existe a tq (X-a) divise P donc nP


2) pas vraiment de piste.. Jai seulement reussi a montrer que si une derivee k ieme etait non nulle toutes les autres aussi :

Merci de votre aide ;)

[L.A.]

Bonsoir.

J'imagine que K = R ou C ou un corps de carctéristique 0 ?

1) bof... ce que tu as fait est faux et trop compliqué. Ne raisonne pas par l'absurde, écris P = QP' puis prouve que Q = (X-a)/n : quel est le degré de Q ? son coeff dominant ?

2) utilise Leibniz à partir de 1)

[zygomatique]

salut

2/ on peut simplement faire une récurrence ... élémentaire ....

[Sanderson996]

Bonjour à vous deux,
Pour la récurrence simple, j'y avais déjà pensé l'heredite est certes facile mais le problème est dans l'initialisation, comment prouver que p´(a)=0 ?
J'ai suivi les conseils de la première réponse:
1) P´|P donc P=QP´ avec deg Q=1 ie il existe u,v dans |K tq Q=u+Xv
J'ai note le coeff dominant de P :b et celui de P' est donc n*b
Donc en reprenant le coeff dominant de Q qui est v on a :
V*b*n=b donc il existe u tq Q=u+1/n* X
Donc nP=(X+u*n)P´
En notant -un=a on arrive a démontrer l'existence..
2) pour la 2 Leibnitz marche la somme etant nulle pour k>1
On montre que p(k) en a est nulle.

Je me mets a la question 3 il me semble qu'on prouve que a=0, je vous tiens au courant et merci à vous pour votre aide :)

[zygomatique]

nP = (x - a)P' ==> P(a) = 0

nP' = P' + (x - a)P" (n - 1)P' = (x - a)P" ==> P'(a) = 0

généralisation : ==> tant que k n

....

[Sanderson996]

;););) :mur:

Sinon pour la conclusion P=b*(X-a)^n
Avec b coefficient dominant de P. C'est tout ce que l'on peut en conclure je pense

[zygomatique]

oui .... :lol3:

[Sanderson996]

Merci beaucoup ;)