Polynômes de matrice

[gaia38]

Bonjour, j'ai un exercice à faire pour jeudi et je doute sérieusement de ma capacité à le démêler d'ici là, je compte sur votre aide.

On fixe une matrice M et on note :
{ }
{ }

-vérifier que est un ev, ça c'est evt, sous ev de l'ensemble des matrices complexes
-en supposant que M est diagonalisable et possède p valeurs propres distinctes determiner dim de et le cardinal de E

Là je bloque totalement, il me semble qu'il suffit de trouver le premier exposant de M s'exprimant comme CL des exposants précédents (famille liée), je conjecture que ce sera p mais je sais pas comment le montrer ni même si c'est réellement le cas. Il me semble que le théorème de Cayley Hamilton pourrait m'aider mais je ne sais comment l'utiliser...

- Enfin, determiner E dans le cas où M est nilpotente


Merci d'avance pour votre aide, j'ai vraiment du mal avec cet exercice, les polynomes d'endomorphismes ne sont même pas enseignés en prépa donc j'ai pas grand chose pour m'aider.

[zygomatique]

salut

le polynome caractéristique c et le polynome minimal m de M conduisent à c(M) = m(M) = 0

la dimension de C[M] me semble donc le degré de m ...

[gaia38]

D'accord mais vous notez m(M) le polynome minimal et c(M) le caracteristique ?

À vrai dire je ne sais pas ce qu est le polynome minimal, je vais aller me renseigner

[gaia38]

En effet la dimension de C[M] est le degré de m mais ce n'est qu'une reformulation de ce que j'avais compris : "il suffit de trouver le premier exposant de M s'exprimant comme CL des exposants précédents".

Comment puis-je maintenant lier ça au nombre de vap de M ?

edit:
c(M)=0 (Cayley-Hamilton) et c(M)=m(M)*Q
or c(M)=

donc dimC[M]=min{ i tel que
=min dim dans le spectre de M

l'ennui est qu'il faut encore prouver que tout les sont nuls et la je sèche à nouveau...

[aviateur]

Bonjour
SI M est diagonalisable et admet p valeurs propres distinctes alors le polynôme minimal est le polynôme de degré p qui admet comme racines simples ces p valeurs propres.

Donc pour tout P il existe R tel que , P(M)=R(M) où degré
Inversement on peut montrer que est un base de C[M]

rem R est le reste de la division de P par le polynôme minimal

[Kolis]

Bonjour !
La réponse précédente ajoute l'hypothèse "diagonalisable". Si on ne l'a pas la dimension que tu cherches est comprise entre et.

Pourquoi ?
Si tu as une combinaison linéaire nulle donnant le plus petit possible, la dimension est bien et tu as aussi un polynôme annulateur de degré .
Inversement, si est polynôme annulateur de degré le plus petit possible (on dit, à coefficient près, que c'est le polynôme minimal) tu as combinaison linéaire des autres puissances et il est facile de voir que la dimension est .

Par ailleurs, si est polynôme annulateur il est facile de voir que toute valeur propre de est une racine de .
Avec ton hypothèse de valeurs propres distinctes le polynôme est donc divisible par .

Ce polynôme est-il annulateur ?
S'il l'était tu aurais une condition suffisante de diagonalisation. Inversement, si est diagonalisable, est polynôme annulateur de degré minimal et la dimension est bien .
Sinon la dimension que tu cherches est comprise entre et .

Exemples :
. Alors la matrice est diagonale et la dimension cherchée est
. Alors , ce n'est pas un polynôme annulateur, la matrice n'est pas diagonalisable et la dimension cherchée est .
Avec des exemples pour tu peux montrer que la dimension peut-être

[gaia38]

Je vous remercie en tout cas tous pour votre précieuse aide, j'ai donc compris comment trouver la dimension, il ne me reste plus qu'à étudier le cas ou M est nilpotente sans être assurément diagonalisable mais il me semble pouvoir trouver dans le post précédent des informations de ce côté là étant donné que dans ce cas p=1.

Je vous tient informé

[gaia38]

Re bonjour, j'ai trouvé un moyen de déterminer E={ } dans le cas diagonalisable () avec p valeurs propres distinctes.

Mais j'en déduis que c'est un espace de dimension 1 alors je trouve ça bizarre étant donné qu'on me demande de trouver le cardinal!

Soit un R dans E il existe un polynome P tel que R=P(M) de plus R^2 =In, j'exprime R^2 avec le polynome:
P(M)^2 =
on en déduit
ainsi on a une somme de matrice diagonale égale à l'identité donc

mais ceci donne une condition de plus sur M qui est censée être fixé depuis le début!!
je suis perdu!
peut-on conclure que si M admet plus d'une valeur propre card E = 0 et si elle en possède une seule le cardinal est infini ?

[zygomatique]

tu cherches les matrices A = P(M) telles que

donc (*)

en effectuant la division euclidienne de par le polynome minimal m de A :

alors (*)

[gaia38]

ensuite on déduis de ça que R est de degrès inférieur à p puisque p est le degré de m(x)

ah et on a aussi deg(P^2)<= max (deg(m)+degQ) et degR
donc 2p<=p+q en notant q=deg(Q) puisque degR<p par définition de la division euclidienne

mais comment conclure, je vois pas

[Kolis]

Si est valeur propre de est valeur propre de .
Si tu veux tu as donc un renseignement sur les valeurs propres possibles de .

Je t'ai donné des exemples où quand on a valeurs propres distinctes le degré du polynôme minimal peut être strictement supérieur à .

[Kolis]

Mais j'en déduis que c'est un espace de dimension 1 alors je trouve ça bizarre étant donné qu'on me demande de trouver le cardinal!

Si que diras-tu de , ?

[gaia38]

Si est valeur propre de est valeur propre de .
Si tu veux tu as donc un renseignement sur les valeurs propres possibles de .

{ 1,-1,i,-i}

p valeurs propres distinctes le degré du polynôme minimal peut être strictement supérieur à p .

mais pas dans le cas où M est diagonalisable si ?

Si que diras-tu de , ?

et bien elles sont libre entres elles et leur carré divisé par deux est l'identité. Vous voulez signifier que l'espace n'est pas de dim 1? mais cependant elle ne sont pas issue de C[M] ?

à vrai de dire je comprend vaguement la notion de polynome minimal mais il me manque absolument tout ce qu'il y a à savoir à propos de ce dernier, donc ça devient vite abscons pour moi...

[JLévy]

pas besoin de passer par le polynome caractéristique, il suffit que tu ressortes ton complément de court sur les polynomes de matrices diagonalisable

Bon courage

[Kolis]

Bonjour !
Désolé d'avoir fourni une réponse "hors sujet" mais c'est de ta faute : tu énonces des possibilités sans rappeler des hypothèses.

Ta réponse sur la dimension de est ridicule, ce n'est PAS un espace vectoriel.

Je t'ai dit que si les valeurs propres de ont un carré égal à 1.
Par ailleurs, si les valeurs propres de sont les .
Une condition nécessaire est donc .
C'est suffisant car étant diagonalisable, il en est de même de donc semblable à une matrice diagonale où les coefficients diagonaux sont et le carré vaut .
Je n'ai pas parlé de "polynôme minimal"...

Il te reste donc à trouver le nombre de polynômes tels que .
En utilisant les polynômes élémentaires de Lagrange () on aurait donc .
Le calcul du nombre d'éléments de est alors facile...
......................................................................................
Dans le cas où est nilpotente, tu prends le plus petit entier tel que .
L'espace cherché sera alors de dimension et les éléments de de la forme .
Pour le cardinal de dans ce cas tu peux remarquer que ...

[gaia38]

Oui en effet je n'aurais peut être pas dû balancer tout le problème dès le début.

Toujours est-il que oui j'ai bien utilisé les polynomes d'interpolations afin de trouver une base de C[M]

puis mon prof de maths m'a suggéré de l'utiliser pour determiner le card de E (en effet ne pas y penser était aussi ridicule que de parler de dimension de E ) ce qui conduit pour chaque valeur propres à deux possiblités de racines carrés et ainsi le cardinal est 2^p.

Je te remercie (ainsi que tout les autres) de ta réponse, et à bientôt !