Polynomes itérés.

par **Le_chat** » 22 Nov 2010, 19:04

Saluts à vous!

J'ai une question sur l'ensemble de Julia d'un polynôme!
Pour fixer les notations: Si P est un polynôme complexe, on définit la suite

par:

, et

pour tout n naturel.
L'ensemble de Julia de P sera alors

(Je sais que l'ensemble de Julia est communément la frontière de I...Mais pour la clarté, on va garder l'appellation d'ensemble de Julia pour I.)

Ma question: Est-ce que "P et Q sont deux polynômes qui commutent Ils ont le même ensemble de Julia" ?

L'implication => est évidente... mais pour le <=, j'ai besoin de vous :lol3:

Merci d'avance pour toute aide apportée.

par **Ben314** » 22 Nov 2010, 19:18

Salut,
Déjà, je capte pas trop le sens => : Il me semble que

et

, commutent alors que

...

par **Le_chat** » 22 Nov 2010, 19:37

Ah ouai pas con ^^merci pour cette réponse, bonne soirée :)

par **ffpower** » 22 Nov 2010, 19:47

Tout ceci ne marche que pour des polys de degré >1, auquel cas => est effectivement vrai ( pas trivial, mais facile quand même ). Le <= est je crois vrai aussi, mais très dur.

par **Le_chat** » 22 Nov 2010, 20:50

Oui en fait je crois que j'ai accepté trop vite le contre exemple de Ben ^^ pour les polys de degré 1, l'ensemble de julia est très simple, donc on va éviter ce cas là... J'ai déjà démontré =>.

Aurais-tu une piste de démonstration pour le <=?

par **ffpower** » 23 Nov 2010, 12:51

Ouai faut pas se laisser trop vite mystifier par l'aura de Ben :ptdr:

Sinon, pour le <=, par dur j'entendais vraiment dur. Mais si tu y tiens :
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/9504/9504210v1.pdf
:happy2:

par **Ben314** » 23 Nov 2010, 13:04

ffpower a écrit:Ouai faut pas se laisser trop vite mystifier par l'aura de Ben :ptdr:

mystifier, mystifier... n'exagérons rien...

Si je veut faire le chieur (et j'aime bien ça), je pourrais demander si ça y était ou pas dans l'énoncé que les degrés doivent être > 1 ?
Mais, bon, on va dire que je demande pas... :marteau:

ffpower a écrit:.... Mais si tu y tiens :
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/9504/9504210v1.pdf
:happy2:

On va dire effectivement que "c'est pas totalement trivial"... :triste:

par **ffpower** » 23 Nov 2010, 13:27

Ben314 a écrit:mystifier, mystifier... n'exagérons rien...

Si je veut faire le chieur (et j'aime bien ça), je pourrais demander si ça y était ou pas dans l'énoncé que les degrés doivent être > 1 ?
Mais, bon, on va dire que je demande pas... :marteau:

Certes, certes :we:

Ben314 a écrit:On va dire effectivement que "c'est pas totalement trivial"... :triste:

Je préviens quand même que cet article est je pense assez pipeau. Il se réfere sans cesse à d'autres articles et je suis pas sur qu'il démontre quelque chose d'inédit au final..

Sinon, la caractérisation des polynomes qui commutent ( ou qui ont même ensemble de Julia ) est mon fantasme depuis un certain temps déjà, mais j'ai toujours pas trouvé de démo self-contained suffisamment compréhensible. Petit à petit j'ai reussi à recoller différents bouts de démo, mais il me manque encore un morceau important. Le plus compréhensible est probablement le mémoire initial de Fatou sur le sujet, mais 300 pages d'écriture "à l'ancienne", non merci..

par **Ben314** » 23 Nov 2010, 14:18

ffpower a écrit:Sinon, la caractérisation des polynomes qui commutent ( ou qui ont même ensemble de Julia ) est mon fantasme depuis un certain temps déjà...

Donc tu va m'éviter de réfléchir façe à la question que je me posait en lisant l'énoncé :
"Quel est l'exemple le plus simple de polynômes P et Q qui commutent sans que l'on ait P=R^i et Q=R^j (ou les ^ désignent des compositions succéssives) pour un même polynôme R"

par **ffpower** » 23 Nov 2010, 14:26

Donc le théo dit que 2 polys P et Q commutent ssi :
-P et Q sont les itérés d'un même polynome
ou -P et Q sont simultanément affinement conjugués à X^n et X^m
ou -P et Q sont simultanément conjugués à T_n et T_m ( polys de Tchebytchev )

( p-e à constantes multiplicatives près intervenant ici et là )

Polynomes itérés.

Polynomes itérés.

Qui est en ligne